0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Достаточные признаки возрастания и убывания функции

Необходимый признак возрастания (убывания).

Если дифференцируемая интервале функция f(х) возрастает (убывает), то ( ) для всех .

Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Если функция у =f(х) дифференцируема на интервале и для всех (при этом может быть равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция возрастает на ; а если (или равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция убывает на этом интервале. Если для всех , то f(х)=const на этом интервале.

Экстремумы функции

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а;b]. Говорят, что функция
у = f(х) имеет локальный максимумв точке х0 є [а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b ] и такая, что для любого х, при­надлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х)

Под окрестностью точких0 понимают интервал длины 2e с центром в точке х0, т.е. 0-e, х0+e), где e — произвольное по­ложительное число

Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный минимумв точке х0 є[а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b] и такая, что для любого х, принадлежаще­го этой окрестности, выполняется неравенство f(х) > f(х0).

Достаточный признак экстремума функции.

Критическая точка (внутренняя точка области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не существует) является точкой экстремума функции, если в окрестности этой точки производная меняет знак, причем точкой максимума, если производная меняет знак с «+» на «-», и точкой минимума, если производная меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее (наименьшее) значениенепрерывной функции у = f(х) на отрезке [а;b]достигается либо в одной из критических точек, либо в одной из граничных точек данного отрезка.

Выпуклость функции

Говорят, что функция у = f(х) выпукла вверх в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М0(х0, у0) лежит выше графика (рис. 4а). Говорят, что функция
у = f(х)выпукла вниз в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М00; у0) лежит ниже графика (рис. 4б).

Если на некотором промежутке (а;b) все касательные к гра­фику функции
у = f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (со­ответственно выпукла вниз).

Рис. 4. Графики выпуклой функции

Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости функции на интервале.

Если вторая производная f»(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f»(х) > 0 (знак + ) функция f(х) выпукла вниз на интервале (а;b);

2) при f»(х) 0.

Точка М00; f(х0)) графика функции у = f(х) называется точкой перегибаэтого графика, если существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М0 имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М00; f0)).

Рис. 5. График функции, имеющей перегиб

Необходимый признак существования точки перегиба.

Если функция в точке х0 имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиба.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f»(х) 0 при х > х0 или f»(х) > 0 при х х0, то М00, (f(х0)) является точкой перегиба кривой у = f(х).

II. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Понятие предела функции

Число А называется пределом функции в точке х0 (или при х х0), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех х х0, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают

Доказательство. Достаточный признак возрастания (убывания) функции;

Теорема 2.

Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Замечание.

Геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что для графика возрастающей дифференцируемой функции касательные образуют с положительным направлением оси Ох острые углы (tg = (x)) или в некоторых точках А параллельны оси Ох. Для графика убывающей дифференцируемой функции все касательные образуют тупые углы с положительным направлением оси Ох или параллельны ей.

1. Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

2. Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

1.Пусть, например, дифференцируемая функция f (x) такова,

что f / (x)>0 при a / ( ), где -промежуточное значение между x1 и x2 и, следовательно, лежащее внутри промежутка (a,b). Так как x2-x1>0 и f / ( )>0,то отсюда получим f(x2)- f(x1)>0 или f(x2)> f(x1).

Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке (a,b)

2. Доказательство второй части этой теоремы совершенно аналогично доказательству первой части её.

Функция возрастающая (или убывающая), называется монотонной.

Промежутки, в которых данная функция возрастает или убывает, называется промежутками монотонности этой функции.

Пример:

Исследовать на возрастание и убывание функцию:

Решение:

Находим производную: .Производная обращается в нуль при значениях:

Эти значения разбивают всю бесконечную ось Ох на три промежутка: ;-1], [-1;1], [1;+ ), внутри каждого из которых производная f / (х) сохраняет постоянный знак.

Следовательно, функция f(x) возрастает на ;-1) (1;+ ],

Достаточные признаки возрастания и убывания функции

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

  • если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
  • если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;
  • найти производную функции;

  • решить неравенства и на области определения;
  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2].

— Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и .

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x0— ,x0+ ), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

Иными словами, точка x0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x0.

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x0) выполняется строгое неравенство

то говорят, что функция имеет в точке x0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x0 и x1 , то, применяя к промежутку [x0,x1] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x2 между x0 и x1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х0. Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х1 и х3 локальные максимумы, а в точках х2 и х4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х0— ,х0+ ), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое условие неявляется достаточным

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y = f ( x ) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y = f ( x ) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть ( a ; b ) , где х = а , х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале — π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид — π 2 ; π 2 .

Точки экстремума, экстремумы функции

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≤ f ( x ) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f ( x ) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

  • когда f ‘ ( x ) > 0 с x ∈ ( x 0 — ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой максимума;
  • когда f ‘ ( x ) 0 с x ∈ ( x 0 — ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) > 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на — , значит, точка называется максимумом;
  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с — на + , значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

  • найти область определения;
  • найти производную функции на этой области;
  • определить нули и точки, где функция не существует;
  • определение знака производной на интервалах;
  • выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 ( x + 1 ) 2 x — 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y ‘ = 2 x + 1 2 x — 2 ‘ = 2 · x + 1 2 ‘ · ( x — 2 ) — ( x + 1 ) 2 · ( x — 2 ) ‘ ( x — 2 ) 2 = = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) ‘ · ( x — 2 ) — ( x + 1 ) 2 · 1 ( x — 2 ) 2 = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x — 2 ) — ( x + 2 ) 2 ( x — 2 ) 2 = = 2 · ( x + 1 ) · ( x — 5 ) ( x — 2 ) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = — 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = — 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y ‘ ( — 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x — 5 ) ( x — 2 ) 2 x = — 2 = 2 · ( — 2 + 1 ) · ( — 2 — 5 ) ( — 2 — 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал — ∞ ; — 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y ‘ ( 0 ) = 2 · ( 0 + 1 ) · 0 — 5 0 — 2 2 = 2 · — 5 4 = — 5 2 0 y ‘ ( 3 ) = 2 · ( 3 + 1 ) · ( 3 — 5 ) ( 3 — 2 ) 2 = 2 · — 8 1 = — 16 0 y ‘ ( 6 ) = 2 · ( 6 + 1 ) · ( 6 — 5 ) ( 6 — 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = — 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на — . По первому признаку имеем, что х = — 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y ( — 1 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x — 2 x = — 1 = 2 · ( — 1 + 1 ) 2 — 1 — 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y ( 5 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x — 2 x = 5 = 2 · ( 5 + 1 ) 2 5 — 2 = 24

Ответ: y m a x = y ( — 1 ) = 0 , y m i n = y ( 5 ) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x — 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

— 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 , x 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y ‘ = 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 ‘ , x 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 ‘ , x > 0 y ‘ = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x 0 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y ‘ x → 0 — 0 = lim y x → 0 — 0 — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 = — 1 2 · ( 0 — 0 ) 2 — 4 · ( 0 — 0 ) — 22 3 = — 22 3 lim y ‘ x → 0 + 0 = lim y x → 0 — 0 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 = 1 2 · ( 0 + 0 ) 2 — 4 · ( 0 + 0 ) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 — 0 = lim x → 0 — 0 — 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 = = — 1 6 · ( 0 — 0 ) 3 — 2 · ( 0 — 0 ) 2 — 22 3 · ( 0 — 0 ) — 8 = — 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 — 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 = = 1 6 · ( 0 + 0 ) 3 — 2 · ( 0 + 0 ) 2 + 22 3 · ( 0 + 0 ) — 8 = — 8 y ( 0 ) = 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 — 2 · 0 2 + 22 3 · 0 — 8 = — 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

— 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x 0 D = ( — 4 ) 2 — 4 · — 1 2 · — 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · — 1 2 = — 4 — 2 3 3 0 x 2 = 4 — 4 3 2 · — 1 2 = — 4 + 2 3 3 0

1 2 x 2 — 4 x + 22 3 , x > 0 D = ( — 4 ) 2 — 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 — 4 3 2 · 1 2 = 4 — 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = — 6 , x = — 4 , x = — 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y ‘ ( — 6 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 6 = — 1 2 · — 6 2 — 4 · ( — 6 ) — 22 3 = — 4 3 0 y ‘ ( — 4 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 4 = — 1 2 · ( — 4 ) 2 — 4 · ( — 4 ) — 22 3 = 2 3 > 0 y ‘ ( — 1 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 1 = — 1 2 · ( — 1 ) 2 — 4 · ( — 1 ) — 22 3 = 23 6 0 y ‘ ( 1 ) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 — 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y ‘ ( 4 ) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 — 4 · 4 + 22 3 = — 2 3 0 y ‘ ( 6 ) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 — 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = — 4 — 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = — 4 + 2 3 3 , x = 4 — 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 + 2 3 3 = — 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 — 2 3 3 = 8 27 3

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = — 8 27 3 y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 8 27 3

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f ‘ ( x 0 ) = 0 , тогда при ее f » ( x 0 ) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f » ( x 0 ) 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Для начала находим область определения. Получаем, что

D ( y ) : x ≥ 0 x ≠ — 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y ‘ = 8 x x + 1 ‘ = 8 · x ‘ · ( x + 1 ) — x · ( x + 1 ) ‘ ( x + 1 ) 2 = = 8 · 1 2 x · ( x + 1 ) — x · 1 ( x + 1 ) 2 = 4 · x + 1 — 2 x ( x + 1 ) 2 · x = 4 · — x + 1 ( x + 1 ) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y » = 4 · — x + 1 ( x + 1 ) 2 · x ‘ = = 4 · ( — x + 1 ) ‘ · ( x + 1 ) 2 · x — ( — x + 1 ) · x + 1 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · ( — 1 ) · ( x + 1 ) 2 · x — ( — x + 1 ) · x + 1 2 ‘ · x + ( x + 1 ) 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · — ( x + 1 ) 2 x — ( — x + 1 ) · 2 x + 1 ( x + 1 ) ‘ x + ( x + 1 ) 2 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = — ( x + 1 ) 2 x — ( — x + 1 ) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = 2 · 3 x 2 — 6 x — 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y » ( 1 ) = 2 · 3 · 1 2 — 6 · 1 — 1 ( 1 + 1 ) 3 · ( 1 ) 3 = 2 · — 4 8 = — 1 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y ( 1 ) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Ответ: y m a x = y ( 1 ) = 4 ..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y = f ( x ) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f ‘ ( x 0 ) = f » ( x 0 ) = f ‘ ‘ ‘ ( x 0 ) = . . . = f n ( x 0 ) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f ( n + 1 ) ( x 0 ) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f ( n + 1 ) ( x 0 ) 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 ( x + 1 ) 3 ( x — 3 ) 4 .

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y ‘ = 1 16 x + 1 3 ‘ ( x — 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 x — 3 4 ‘ = = 1 16 ( 3 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 4 ( x — 3 ) 3 ) = = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 3 ( 3 x — 9 + 4 x + 4 ) = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 3 ( 7 x — 5 )

Данная производная обратится в ноль при x 1 = — 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y » = 1 16 x + 1 2 ( x — 3 ) 3 ( 7 x — 5 ) ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( 21 x 2 — 30 x — 3 ) y » ( — 1 ) = 0 y » 5 7 = — 36864 2401 0 y » ( 3 ) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f ( n + 1 ) 5 7 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = — 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y ‘ ‘ ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( 21 x 2 — 30 x — 3 ) ‘ = = 1 8 ( x — 3 ) ( 105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93 ) y ‘ ‘ ‘ ( — 1 ) = 96 ≠ 0 y ‘ ‘ ‘ ( 3 ) = 0

Значит, x 1 = — 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f ( n + 1 ) ( — 1 ) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y ( 4 ) = 1 8 ( x — 3 ) ( 105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93 ) ‘ = = 1 2 ( 105 x 3 — 405 x 2 + 315 x + 57 ) y ( 4 ) ( 3 ) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 — точкой минимума заданной функции.

Промежутки на которых функция возрастает. Достаточные признаки возрастания и убывания функции

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)le f(x_0)$.

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f»left(x_0right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $left(a,x_0right) и (x_0,b)$ производная $f»(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»left(xright)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f»left(xright)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»left(xright)0$, то точка $x_0$ — точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f»left(xright) >0$ или производная $f»left(xright)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f»(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f»(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f»left(xright)=0$;

4) Найти точки, в которых $f»(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f»left(xright)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)=<2x>^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения — все действительные числа;

4) $f»(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом промежутке:

. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f (x) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

  • когда f » (x) > 0 с x ∈ (x 0 — ε ; x 0) и f » (x) 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на — , значит, точка называется максимумом;
  • когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с — на + , значит, точка называется минимумом.

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

  • найти область определения;
  • найти производную функции на этой области;
  • определить нули и точки, где функция не существует;
  • определение знака производной на интервалах;
  • выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 (x + 1) 2 x — 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y » = 2 x + 1 2 x — 2 » = 2 · x + 1 2 » · (x — 2) — (x + 1) 2 · (x — 2) » (x — 2) 2 = = 2 · 2 · (x + 1) · (x + 1) » · (x — 2) — (x + 1) 2 · 1 (x — 2) 2 = 2 · 2 · (x + 1) · (x — 2) — (x + 2) 2 (x — 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x — 5) (x — 2) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = — 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = — 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y » (- 2) = 2 · (x + 1) · (x — 5) (x — 2) 2 x = — 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 — 5) (- 2 — 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал — ∞ ; — 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y » (0) = 2 · (0 + 1) · 0 — 5 0 — 2 2 = 2 · — 5 4 = — 5 2 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = — 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на — . По первому признаку имеем, что х = — 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y (- 1) = 2 · (x + 1) 2 x — 2 x = — 1 = 2 · (- 1 + 1) 2 — 1 — 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y (5) = 2 · (x + 1) 2 x — 2 x = 5 = 2 · (5 + 1) 2 5 — 2 = 24

Ответ: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x — 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 , x 0 y » = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y » x → 0 — 0 = lim y x → 0 — 0 — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 = — 1 2 · (0 — 0) 2 — 4 · (0 — 0) — 22 3 = — 22 3 lim y » x → 0 + 0 = lim y x → 0 — 0 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 = 1 2 · (0 + 0) 2 — 4 · (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 — 0 = lim x → 0 — 0 — 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 = = — 1 6 · (0 — 0) 3 — 2 · (0 — 0) 2 — 22 3 · (0 — 0) — 8 = — 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 — 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 = = 1 6 · (0 + 0) 3 — 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) — 8 = — 8 y (0) = 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 — 2 · 0 2 + 22 3 · 0 — 8 = — 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x 0 D = (- 4) 2 — 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 — 4 3 2 · 1 2 = 4 — 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = — 6 , x = — 4 , x = — 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y » (- 6) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 6 = — 1 2 · — 6 2 — 4 · (- 6) — 22 3 = — 4 3 0 y » (- 1) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 1 = — 1 2 · (- 1) 2 — 4 · (- 1) — 22 3 = 23 6 0 y » (4) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 — 4 · 4 + 22 3 = — 2 3 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = — 4 — 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = — 4 + 2 3 3 , x = 4 — 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 + 2 3 3 = — 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 — 2 3 3 = 8 27 3

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y (0) = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = — 8 27 3 y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 8 27 3

Если задана функция f » (x 0) = 0 , тогда при ее f «» (x 0) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f «» (x 0) 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f (n + 1) (x 0) 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 — точкой минимума заданной функции.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Интервал возрастания функции. Достаточные признаки возрастания и убывания функции

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)le f(x_0)$.

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f»left(x_0right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $left(a,x_0right) и (x_0,b)$ производная $f»(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»left(xright)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f»left(xright)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f»left(xright)0$, то точка $x_0$ — точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f»left(xright) >0$ или производная $f»left(xright)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

2) Найти производную $f»(x)$;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f»(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f»left(xright)=0$;

4) Найти точки, в которых $f»(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f»left(xright)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)=<2x>^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения — все действительные числа;

4) $f»(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

6) Определить знак производной $f»(x)$ на каждом промежутке:

Определим знак значений функции на концах отрезка.

f (10) = , f (10) 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f»(x)
x 0 , выполняется неравенство f (x 0) f (x ), и для любой точки х из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f (x ) ≤ f (x 0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x 0 . Если f «(x 0) > 0, то функция f (x ) строго возрастает в точке x 0 . Если f (x ) возрастает в каждой точке интервала (a , b ), то она возрастает на этом интервале.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое «Возрастание и убывание функции» в других словарях:

Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь

Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь

Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, а

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector