0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как решать неравенства с двумя модулями

Неравенство с двумя модулями. Часть II

«Неравенство с двумя модулями. Часть I» смотрим здесь.

Решим неравенство

Правило раскрытия модуля говорит, что раскрытие модуля зависит от того, какой знак имеет подмодульное выражение. Стало быть, нас будут интересовать нули подмодульных выражений, – смена знака подмодульного выражения возможна только в них.

В нашем случае нуль первого модуля – это 4, нули второго подмодульного выражения – это -3 и 2.

Вся числовая ось указанными точками разбивается на 4 промежутка. Нам предстоит поработать с неравенством в каждом из них.

Если у вас возник вопрос, почему, например, в крайнем левом промежутке у нас число -3 не включено, а на следующем включено (аналогично с другими), – ответим на него. На самом деле, – все равно, куда именно вы включите концы промежутков. Лишь бы при склейке все промежутки давали бы нам всю числовую прямую, если мы работаем на R.

Выясним, как распределяются знаки подмодульных выражений на каждом из промежутков.

Начнем с первого подмодульного выражения. Очевидно, что при 4″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»15″ width=»48″ style=»vertical-align: -1px;»/> знак выражения – минус, то есть , а при .

«Переключателями» же знака второго подмодульного выражения из неравенства являются точки -3 и 2. Если , то при остальных имеем: 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»127″ style=»vertical-align: -2px;»/>. Если вам не кажутся очевидными знаки этого подмодульного выражения на указанных промежутках, загляните сюда (метод интервалов).

Мы замечаем, что на двух промежутках (первом и третьем слева) знаки подмодульных выражений распределены одинаково.

Итак, первый случай:

Предстоит решить систему (мы объединили первый и третий промежутки в совокупность):

Во второй строке системы приводим подобные слагаемые и раскладываем на множители:

Теперь переходим на ось, пересекаем два множества между собой:

.

Второй случай:

.

Третий случай:

4,& & -4+x+x^2+x-6geq 7; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»60″ width=»231″ style=»vertical-align: -25px;»/>

4,& & x^2+2x-17geq 0; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»60″ width=»165″ style=»vertical-align: -25px;»/>

4,& & (x-(-1+3sqrt2))(x-(-1-3sqrt2))geq 0; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»60″ width=»362″ style=»vertical-align: -25px;»/>

.

Нам осталось объединить решения каждого из случаев между собой:

Ответ:

Для тренировки предлагаю Вам решить следующее неравенство:

Как решать неравенства с двумя модулями

Репетитору по математике часто приходится сталкиваться с отсутствием у старшеклассников навыков решения простейших уравнений и неравенств с модулем. Между тем среди заданий С3 или С5 из ЕГЭ по математике таковые могут встретиться. Даже если их не будет на экзамене в явном виде, в процессе выполнения некоторых задач из ЕГЭ вам, возможно, придется столкнуться с решением того или иного задания с модулем. Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы. В данной статье рассмотрены некоторые способы их решения. Присутствует также видеоразбор решения одного уравнения, содержащего модуль.

Считается, что чем больше способов решения существует у задачи, тем она интереснее с математической точки зрения. Уравнения и неравенства с модулями можно поэтому смело назвать интересными. Рассмотрим пример.

Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.

Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.

Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.

Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается. Для решения нам потребуется найти значение переменной при котором подмодульное выражение обращается в ноль: Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.

Далее на каждом промежутке раскрываем знак модуля в соответствии с полученными данными:

  • при подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: или Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.
  • при подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс: или Корни уравнения и Оба принадлежат рассматриваемому нами промежутку.

Способ №3. Замена уравнения смешанной системой. Известно, что:

Для тех, кто не знает, какой именно смысл вкладывается в математике в фигурные и квадратные скобки, рекомендую ознакомиться со статьей «Решение систем логарифмических и показательных неравенств». То есть в нашем случае:

Легко заметить, что первое неравенство выполняется при любом значении Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:

Способ №4. Графический. Строим в одной системе координат графики функции и Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же и

Соответствующие графики функций на одном координатном поле.

На этом список стандартных способов решения данного уравнения с модулем исчерпан. Придумайте свои нестандартные.

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Пробные репетиционные ЕГЭ: пройдите бесплатное тестирование! Все, как на настоящем ЕГЭ.
Звоните, чтобы записаться:

8 (495) 984-09-27 или 8 (800) 775-06-82

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Как решать неравенства с двумя модулями

Абсолютной величиной (модулем) называется функция, которая каждому числу

хR ставит в соответствие число

Величина |х| равна расстоянию от точки х до начала координат.

Пусть х и у — действительные числа. Приведем (в виде формул) свойства модуля.

1) |x|0.
2) |x| = 0x = 0.
3) |xy| = |x||y|.
4) |x : y| = |x| : |y|, где у0 .
5)= |x|, где m — четное число (2, 4, 6. ).
6) |x| n = x n , где n — четное число (2, 4, 6. ).
7) |x + y||x| + |y|.
8) |x — y||x| — |y|.

1. Стандарный способ.

Стандарный способ решения неравенств, содержащих модуль, состоит в том, что, зная промежутки, на которых функция, находящая под знаком модуля принимает значения определенных знаков, снимают знак модуля.

В общем случае при решении неравенств этим способом поступают так:

а) Находят ОДЗ неравенства.

б) Находят точки в которых функции, стоящие под знаком модуля, равны 0.

в) Полученные точки разделяют ОДЗ на несколько множеств.

г) На каждом, из полученных множеств, определяют знак каждой функци и, согласно определению модуля, снимают знак модуля.

д) Решают каждое из полученных неравенств.

е) Полученные множества объединяют.

Задача 1. Решить неравенство |x 2 — 3x + 2| + |2x +1| 2 — 3x + 2 = 0;

Три числа -0,5; 1 и 2 разделяют множество действительных чисел на четыре множества. Поэтому рассмотрим четыре случая.

1) (-; -0,5]. На этом промежутке x 2 — 3x + 2 > 0, 2x + 1 2 — 3x + 2 -2x — 1 2 — 5x — 4 0, следовательно, x1 =; x1 =;;

x-0,5,
2 — 3x + 2 > 0, 2x + 1 > 0,

тогда x 2 — 3x + 2 + 2x + 1 2 — x — 2 0, x1 = -1; x2 = 2;

-0,5 2 — 3x + 2 0;

-x 2 + 3x — 2 + 2x + 1 > 5;

D =25 — 24 = 1 > 0, x1 = 2; x2 = 3;

1 3;

Решение этого неравенства на этом промежутке x(1; 2)

4) (2; +). . На этом промежутке x 2 — 3x + 2 > 0, 2x + 1 > 0;

x 2 — 3x + 2 + 2x + 1 2 — x — 2 2,
-1 g(x) (, 0

Рекомендуем читателю построить график функции y = |f(x)| и обдумать формулы, а заодно и каждую строчку приведенной таблицы.

Пример 2. Решить неравенство |х + 5| > 4.

ОДЗ: хR. Согласно восьмой строке таблицы

|x + 5| > 4x + 5 4x -1.

Ответ: х(-; -9)(-1; +).

Пример 3. Решить неравенство.

Решим систему неравенств

17 + x0,
8 — x0;

x-17,
x8;

Таким образом ОДЗ функции, стоящей в левой части неравенства, является множество чисел из промежутка [-17; 0)(0; 8]. На этом множестве левая часть неравенства неотрицательна, следовательно, решением данного неравенства является ОДЗ.

Ответ: [-17; 0)(0; 8].

Пример 4. Решить неравенство |x 2 -6x + 5|x + 5.

Это неравенство равносильно совокупности неравенств

x 2 — 6x + 5x + 5,
x 2 — 6x + 5-x — 5;

Упростим каждое из неравенств полученной совокупности

x 2 — 7x0,
x 2 — 5x + 100;

x(х — 7)0,
x 2 — 5x + 100;

Решением первого неравенства является множество чисел (-; 0][7; +).

Квадратный трехчлен x 2 — 5x + 10 имеет отрицательный дискриминант, поэтому принимает только положительные значения и, следовательно, второе неравенство решений не имеет.

Ответ: (-; 0][7; +).

2). В ряде случаев (например, если g(х) — квадратный корень либо абсолютная величина, либо любая непрерывная функция, принимающая на всей области определения неотрицательные значения), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать возведением в квадрат. Как и в неравенствах |f g(х) (,1, 0. Для тех х из ОДЗ, где g(х) » выбран для определенности).

Алгоритм решения неравенства|f g <х), если g(х) >0

1.Почленно возвести в квадрат|f(x)| 2 > (g(x)) 2 , используя свойство 6, получим неравенство равносильное данному(f (g(х)) 2

3.Воспользоваться формулой(f(x) — g(х)) (f(x) + g(x)) > 0

4.Применить метод интервалов

Пример 5. Решить неравенство |x 2 — 5x + 9| 2 — 5x + 9| 2 2 .

(x 2 — 5x + 9) 2 — (x — 6) 2 2 — 5x + 9 -(x — 6))(x 2 — 5x + 9 +(x — 6)) 2 — 6x + 15)(x 2 — 4x + 3) 2 — 6x + 15 отрицателен (6 2 — 60 = -24) поэтому на всей области определения он принимает только положительные значения.

Дискриминант квадратного трехчлена x 2 — 4x + 3 положителен (4 2 — 12 = 4), он имеет два корня и они равны 1 и 3. Отрицательные значения квадратный трехчлен принимает, если 1

Решение неравенств с модулями

Методы (правила) раскрытия неравенств с модулями заключаются в последовательном раскрытии модулей, при этом используют интервалы знакопостоянства подмодульных функций. В конечном варианте получают несколько неравенств из которых и находят интервалы или промежутки, которые удовлетворяют условию задачи.

Перейдем к решению распространенных на практике примеров.

Линейные неравенства с модулями

Под линейными понимаем уравнения, в которых переменная входит в уравнение линейно.

Пример 1. Найти решение неравенства

Решение:
Из условия задачи следует, что модули превращаются в ноль при x=-1 и x=-2. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы

В каждом из этих интервалов решим заданное неравенство. Для этого прежде всего составляем графические рисунки областей знакопостоянства подмодульных функций. Их изображают в виде областей с знаками каждой из функций


или интервалов со знаками всех функций.

На первом интервале раскрываем модули

Умножаем обе части на минус единицу, при этом знак в неравенстве поменяется на противоположный. Если Вам до этого правила трудно привыкнуть, то можете перенести каждую из частей за знак, чтобы избавиться минуса. В конечном варианте Вы получите

Пересечением множества x>-3 с областью на которой решали уравнения будет интервал (-3;-2) . Для тех кому легче искать решения графически можете рисовать пересечение этих областей

Общие пересечение областей и будет решением. При строгом неровности края не включают. При нестрогое проверяют подстановкой.

На втором интервале получим

Сечением будет интервал (-2;-5/3). Графически решение будет иметь вид

На третьем интервале получим

Данное условие не дает решений на искомой областе.

Поскольку два найдены решения (-3;-2) и (-2;-5/3) граничат точкой x=-2 , то проверяем и ее.

Таким образом точка x=-2 является решением. Общее решение с учетом этого будет выглядеть (-3;5/3).

Пример 2. Найти решение неравенства
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Решение:
Нулями подмодульных функций будут точки x=2, x=3, x=4 . При значениях аргументов меньше этих точек подмодульные функции отрицательные, а при больших – положительные.

Точки разбивают действительную ось на четыре интервала. Раскрываем модули согласно интервалов знакопостоянства и решаем неравенства.

1) На первом интервале все подмодульные функции отрицательные, поэтому при раскрытии модулей меняем знак на противоположный.



Пересечением найденных значений x с рассматриваемым интервалом будет множество точек

2) На промежутке между точками x=2 и x=3 первая подмодульная функция положительная, вторая и третья – отрицательные. Раскрывая модули, получим



неравенство, которое в пересечении с интервалом, на котором решаем, дает одно решение – x=3.

3) На промежутке между точками x=3 и x=4 первая и вторая подмодульные функции положительные, а третья – отрицательная. На основе этого получим


Это условие показывает, что целый промежуток [3;4] будет удовлетворять неравенство с модулями.

4) При значениях x>4 все функции знакоположительные. При раскрытии модулей их знак не меняем.


Найденное условие в пересечении с интервалом дает следующее множество решений

Поскольку неравенство решено на всех интервалах, то остается найти общее всех найденных значений x. Решением будут два интервала

На этом пример решен.

Пример 3. Найти решение неравенства
||x-1|-5|>3-2x

Решение:
Имеем неравенство с модулем от модуля. Такие неравенства раскрывают по мере вложенности модулей, начиная с тех, которые размещены глубже.

Подмодульная функция x-1 преобразуется в нуль в точке x=1 . При меньших значениях за 1 она отрицательная и положительная для x>1 . На основе этого раскрываем внутренний модуль и рассматриваем неравенство на каждом из интервалов.

Сначала рассмотрим интервал от минус бесконечности до единицы


Подмодульная функция равна нулю в точке x=-4 . При меньших значениях она знакоположительная, при больших – отрицательная. Раскроем модуль для x 1

Подмодульная функция отрицательная для x 6 получим неравенство

Также решая получили пустое множество.
Учитывая все выше изложенное, единственным решением неравенства с модулями будет следующий интервал.

Неравенства с модулями, содержащие квадратные уравнения

Пример 4. Найти решение неравенства
|x^2+3x|>=2-x^2

Решение:
Подмодульная функция обращается в нуль в точках x=0, x=-3. Простой подстановкой минус единицы

устанавливаем, что она меньше нуля на интервале (-3;0) и положительная за его пределами.
Раскроем модуль в областях где подмодульная функция положительная

Осталось определить области, где квадратная функция положительная. Для этого определяем корни квадратного уравнения

Для удобства подставляем точку x=0, которая принадлежит интервалу (-2;1/2). Функция отрицательная в этом интервале, значит решением будут следующие множества x

Здесь скобками обозначены края областей с решениями, это сделано сознательно, учитывая следующее правило.

ЗАПОМНИТЕ: Если неравенство с модулями, или простое неравенство является строгим, то края найденных областей не являются решениями, если же неравенства нестроги ()то края являются решениями (обозначают квадратными скобками).

Это правило использует многие преподаватели: если задано строгое неравенство, а Вы при вычислениях запишете в решении квадратную скобку ([,]) – они автоматом посчитают это за неправильный ответ. Также при тестировании, если задано нестрогое неравенство с модулями, то среди решений ищите области с квадратными скобками.

На интервале (-3;0) раскрывая модуль меняем знак функции на противоположный

Учитывая область раскрытия неравенства, решение будет иметь вид

Вместе с предыдущей областью это даст два полуинтервала

Пример 5. Найти решение неравенства
9x^2-|x-3|>=9x-2

Решение:
Задано нестрогое неравенство, подмодульная функция которого равна нулю в точке x=3. При меньших значениях она отрицательная, при больших – положительная. Раскрываем модуль на интервале x 3

Дискриминант квадратного уравнения

отрицательный, следовательно действительных корней нет.
Единственным решением является промежуток [-1/9;1] .

Давайте выполним данные вычисления в математическом пакете Maple. Анализа подмодульных функций и склеивания областей Вы при этом не увидите, зато без труда получите только правильные решения.

Фрагмент кода в Maple и результаты расчетов приведены ниже

> restart ; — зануление всех переменных

> Q1:=abs(x+1)>2*abs(x+2); — запись уравнения с модулями

> solve(Q1,x); — решение уравнения с модулями

Здесь RealRange() означает действительный промежуток, Open() — показывает, что края промежутка не включаются (круглые скобки)

В среде Maple легко реализуется решения иррациональных, логарифмических неравенств с модулями и других. Достаточно лишь ввести заданную неравенство и вызвать команду solve() — решение. Таким образом можно получить решения столь сложных заданий с модулями, что все известные аналитические методы перед ними бессильны.

Уравнение с модулями требуют большого внимания при решении. Сама меньше невнимательности или ошибка со знаком может привести к лишним решений или их нехватки. При вычислениях можете выполнять проверку методом подстановки. Также можете проверить решения с помощью Maple или других известных Вам математических программ.

Урок «Неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля»

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Неравенства с двумя переменными, содержащие знак модуля»

ФИО: Корнева Татьяна Владимировна

Место работы: МБ ОУ Газопроводская СШ

Должность: учитель математики

Предмет: алгебра (углубленное изучение)

Тема «Системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными», 14 урок в теме

Базовый учебник: Алгебра. 9 класс. Ю.Н. Макарычев и др., М.: Мнемозина, 2011г.

Цель урока: расширить знания и умения обучающихся, связанные с графическими приёмами решения неравенств с двумя переменными

-обучающие: изучить графический метод решения неравенств с двумя переменными, содержащими знак модуля, рассмотреть различные приёмы и методы решения;

-развивающие: развитие внимания, логического мышления, умения систематизировать и применять полученные знания, развитие пространственного мышления;

-воспитательные: воспитание целеустремлённости, упорства и настойчивости, воспитание чувства взаимопомощи, самоконтроля, воспитание добросовестного отношения к своей учёбе, уважения к работе своих одноклассников и учителя.

Тип урока: изучение нового материала

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая, диалог, беседа.

Комплект интерактивного оборудования (компьютер учителя, проектор, интерактивная доска)

Структура и ход урока:

1. Организационный момент – 1 мин

Постановка цели, которая должна быть достигнута обучающимися на данном уроке

2. Проверка домашнего задания – 2 мин

Учитель демонстрирует слайды на интерактивной доске, учащиеся сравнивают с ними свои работы, исправляют ошибки по мере необходимости.

3. Актуализация знаний – 5 мин;

Повторение методов решения неравенств с одной переменной, содержащих знак модуля (мультимедийный проект группы учащихся)

4. Изучение нового материала- 15 мин

Рассматриваются неравенства, в которых содержатся выражения с переменными под знаком модуля.

Пример 1:

Любое выражение под знаком модуля при некоторых условиях можно заменить выражением без знака модуля:

Множество решений неравенства является объединением множества решений этих систем.

Но рассмотренный метод не совсем удобен, так как перегружен преобразованиями и довольно неудобно определять множество решений на рисунке, из-за обилия графиков.

Другой способ решения базируется на приёмах решения неравенств с одной переменной, содержащих модуль:

1 шаг – уединим выражение, содержащее переменную y в левой части

2 шаг – заменяем равносильной совокупностью , выражаем y

3 шаг – строим графики функций и

4 шаг – изображаем на координатной плоскости множество решений нашего неравенства

Пример 2:

Пример 3 :

Строим

Или используем методы решения неравенств с модулем:

Дополнительное задание:

Найдите площадь полученной фигуры.

5 . Первичное закрепление нового материала,

применение нового знания в стандартной ситуации – 7 мин

Работа в учебных парах, с последующей проверкой (слайды на доске). Учитель консультирует.

Задание: Изобразите множество решений неравенства:

№ 553(а) № 556(в)

6. Продуктивное использование новых знаний -13 мин

Применение полученных знаний в нестандартной ситуации. Ученики работают у доски.

№ 557(а): Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства

№ 558. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы

Найдите решение этой системы:

а) с наименьшей абсциссой; в) с наибольшей абсциссой;

б) с наименьшей ординатой; г) с наибольшей ординатой.

7. Систематизация и обобщение – 2 мин

Учитель подводит итоги урока и задаёт домашнее задание.

Разно уровневое домашнее задание: п.26 – всем ученикам;

№ 553(б), 555(а) (для учеников, испытывающих трудности при изучении математики);

№ 555(б), 556(а), №560(б) (для хорошо успевающих учеников);

№ 557(б), 560(а), 607(б) (для учеников, проявляющих интерес к предмету)

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector