3 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Логарифмические неравенства и их решение

Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

V , где V — один из знаков неравенства: , ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (1″ title=»a>1″/>), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

log_a» title=»log_a>log_a«/>

g(x)> 0> >>< >» title=»delim<1><g(x)> 0> >>< >«/>

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (

log_a» title=»log_a>log_a«/>

0> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1 . Решим неравенство:

log_<1/3><(x^2+2x-2)>» title=»log_<1/3><(x+4)>>log_<1/3><(x^2+2x-2)>«/>

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

0> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

0> -4> >>< >» title=»delim<1><0> -4> >>< >«/>

Корни квадратного трехчлена: ,

Ответ:

2 . Решим неравенство:

log_><3>» title=»log_2<(2-x)>+log_<1/2><(x-1)>>log_><3>«/>

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

2log_<2><3>» title=»log_2<(2-x)>-log_<2><(x-1)>>2log_<2><3>«/>

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

log_<2><(x-1)>+2log_<2><3>» title=»log_2<(2-x)>>log_<2><(x-1)>+2log_<2><3>«/>

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

log_<2><(x-1)>*<3>^2″ title=»log_2<(2-x)>>log_<2><(x-1)>*<3>^2″/>

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

9(x-1)> 0> >>< >» title=»delim<1><<2-x>9(x-1)> 0> >>< >«/>

1> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Ответ:

3 . Решим неравенство:

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

Введем замену переменных:

.

Получим квадратное неравенство:

Значит, .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

=1> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

=1> >>< >» title=»delim<1>< <(x-x^2+2)>=1> >>< >«/>

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

=2><<(x-x^2+2)>>0> >>< >» title=»delim<1> <<<(x-x^2+2)>=2><<(x-x^2+2)>>0> >>< >«/>

Последнее неравенство системы — это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

=0″ title=»x^2-x+2>=0″/> Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду =0″ title=»x-x^2>=0″/>, отсюда

Ответ:

Методы решения логарифмических неравенств

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

    0 loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ?, 2 — x) ? log3(x + 8);d)

b) e) log2x(x 2 — 5x + 6) 2 — x) ? log3(x + 8) Ы x 2 — x ? x + 8,Ы x 2 — 2x — 8 ? 0,Ыx+8 > 0,x > -8,Ы x ? -2,x ? 4,Ы x О (-8;-2]И[4;+Ґ).

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Ы x О (3;4),Ы x О (3;4).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t 2 + t — 2 ? 0, откуда t ? -2 или t ? 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства — множество (5;+Ґ). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x — 2)(x — 5) 2 > t + 11,

откуда t 5. Поскольку t ? 0, остается t > 5 или Ы x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим ответ: x О (5;+Ґ).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)И(2;+Ґ). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) 3, значит,

Логарифмические неравенства

(blacktriangleright) На ОДЗ верны следующие формулы:

[large <|lcl|>hline log_a1=0& qquad & log_aa=1\ &&\ log_=frac mnlog_<|a|><|b|>&& a^=c^\ &&\ log_a=log_a<|b|>+log_a<|c|>&& log_a=log_a<|b|>-log_a<|c|>\ &&\ log_abcdot log_bc=log_ac & Longleftrightarrow & log_bc=dfrac\ &&\ log_abcdot log_ba=1 & Longleftrightarrow & log_ab=dfrac1\ &&\ hline end>]

(blacktriangleright) Стандартное логарифмическое неравенство [geqslant log_a quad (*)>>] где (a>0, ane 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, 1) , и убывающей, если (0

На графике приведен пример возрастающей логарифмической функции (f_1(x)=log_2x) и убывающей логарифмической функции (f_2(x)=log_<,0,5>x) .

Напомним, что функция возрастает, если при увеличении (x) увеличивается и (f(x)) . Функция убывает, если при увеличении (x) уменьшается (f(x)) .

Таким образом, неравенство ((*)) есть не что иное, как сравнение (f(h)) и (f(g)) . Если функция (f) — возрастает, то неравенство (f(h)geqslant f(g)) равносильно неравенству (hgeqslant g) , а если убывает — то неравенству (hleqslant g) .

Поэтому для того, чтобы решить неравенство ((*)) , нужно сравнить основание (a) с единицей:

(blacktriangleright) Напомним, что область значений логарифмической функции — все числа, т.е. (log_axin mathbb) при всех возможных (a) и (x) .

(blacktriangleright) С помощью формулы (>>) можно любое число (b) представить в виде логарифма по необходимому основанию (a>0, ane 1) .

Пример 1. Решить неравенство (log_2 <(x^2+7)>>4)

Представим по формуле (4=log_2<2^4>=log_2<16>) , тогда неравенство примет вид [log_2<(x^2+7)>>log_2 <16>Leftrightarrow begin x^2+7>16\ x^2+7>0 end] (знак неравенства не сменится, т.к. основание логарифмов (2>1) ).

Второе неравенство (x^2+7>0) (это и есть ОДЗ) выполнено при всех (x) .
Первое неравенство системы равносильно (x^2-9>0 Leftrightarrow (x-3)(x+3)>0 Rightarrow xin (-infty;-3)cup(3;+infty)) .

Таким образом, после пересечения решений обоих неравенств системы решением исходного неравенства будут (xin (-infty;-3)cup(3;+infty)) .

(blacktriangleright) Рассмотрим неравенства вида [geqslant log_>>] (на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, 1\ f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end\[4pt] &begin 0 0 end end end right.>>]

Иногда удобно выписать ОДЗ отдельно. Тогда неравенство будет равносильно системе: [ f(x)>0 quad (textbf<ОДЗ>)\ g(x)>0 quad (textbf<ОДЗ>)\[3pt] left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x) end\[3pt] &begin 0 1)

Данное неравенство равносильно:

(log_x<(3x-1)>>log_xx Leftrightarrow left[ begin begin &begin x>1\ 3x-1> x\ x>0 end\ &begin 0 0 end end end right. Leftrightarrow left[ begin begin &x>1\ &dfrac13 0 Rightarrow xne -1) .
Для основания логарифма ОДЗ отдельно выписывать не имеет смысла, т.к. мы будем учитывать его в самом решении: рассматривать случаи, когда основание больше (1) и когда оно находится между (0) и (1) .

Таким образом, на ОДЗ неравенство равносильно совокупности (учитывая, что (1=log_) ) [left[ begin begin &begin x^2>1\ (x+1)^2leqslant x^2 end\[2pt] &begin 0 0\ (x+1)^2-x^2leqslant 0 end\[2pt] &begin x^2 0\ (x+1)^2- x^2geqslant 0 end end end right.quad Leftrightarrow quad left[ begin begin &begin (x-1)(x+1)>0\ (x+1-x)(x+1+x)leqslant 0 end\[2pt] &begin (x-1)(x+1)

55. Логарифмические неравенства

Логарифмическим неравенством называется такое неравенство, в котором неизвестная величина содержится или под знаком логарифма, или в его основании.

Особенностью решения логарифмических неравенств является учет ОДЗ входящих в него логарифмов. В отличие от логарифмических уравнений, условия, определяющие ОДЗ, целесообразно записывать вместе с решением в одной системе, так как в ходе решения некоторые условия на ОДЗ учитываются сразу. Необходимо внимательно следить за величиной основания логарифма, так как при положительном основании логарифма, которое меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X), H(X) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида

(6.16)

1. Если 0 1, то неравенство (6.16) равносильно системе

Заметим, что в этом случае первое неравенство системы (6.17) можно не решать, так как во втором неравенстве

(6.18)

Решение неравенства (6.18) сводится к решению совокупности двух систем:

Неравенство F(X) > 0 во второй системе можно не решать, так как оно справедливо при выполнении двух других неравенств этой системы.

II тип: неравенство вида

(6.19)

1. Если 0 0 в системе (6.20) можно не решать, так как оно выполняется при условии выполнения двух других неравенств этой системы.

2. Если то неравенство (6.19) равносильно системе

(6.21)

Неравенство в системе (6.21) можно не решать.

(6.22)

Поскольку в основании содержится переменная величина, то в общем случае решение неравенства (6.22) зависит от величины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем совокупность двух систем:

III тип: неравенство вида

(6.23)

Где F – некоторое выражение относительно

Необходимо заменить и решить неравенство F(Y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенства промежутки записывают в виде неравенств относительно Y, а затем возвращаются к старой переменной.

Логарифмические уравнения и неравенства.

Практическая работа по теме: «Решение логарифмических уравнений и неравенств» для студентов колледжа.

Просмотр содержимого документа
«Логарифмические уравнения и неравенства.»

Инструкционная карта № 16

Тақырыбы/ Тема: Решение простейших и сводящихся к ним логарифмических

уравнений и неравенств.

1. Уметь самостоятельно находить методы решения уравнений и неравенств.

2. Создать условия для формирования умений сравнивать, классифицировать умения решать различного вида логарифмические уравнения и неравенства.

3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умений самостоятельно планировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.

Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.

Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .

Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если

Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

сделать замену переменной;

решить полученное уравнение;

сделать обратную замену;

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

4.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

5. Уравнения, которые не имеют решения.

Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.

Проанализировать левую и правую часть уравнения.

Сделать соответствующие выводы.

При решении логарифмических неравенств помним:

Общие свойства неравенств;

Свойство монотонности логарифмической функции;

Область определения логарифмической функции.

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

Корни квадратного трехчлена: ,

Ответ:

Решите логарифмические уравнения, неравенства и систему уравнений.

1. а) log= 2 а) lg x = 3 а) log =-2

б) log =3 б) log =-2 б) log =-2

в)log log в) log = log в) log = log

2. а) log — log= 6 а) log — log = 2 а) lg -lg x+- + 1 = 0

б) 2 2-3 x = 7 б) (0,3) 4-х = 2 б) 7 х = 9

3. а) log -2 а) log 1 а) log 2

б) log log б) log log б) log log

в) log -3 в) log -2 в) log 3

4. а) lg x + lg(x-1) lg 6 а) log +log log а) log +log -1

б) lg +5lg x + 9 0 б) lg +3lg x 4 б) log 0

Решите систему уравнений:

Какое свойство логарифмической функции необходимо учитывать при решении логарифмических уравнений?

Определите наиболее удобный способ решения уравнений

Что является основой для решения логарифмических неравенств?

Почему решение логарифмических неравенств в большинстве случаев сводится к рассмотрению системы неравенств?

Решение логарифмических неравенств

Разделы: Математика

  • 1 уровень – научить решать простейшие логарифмические неравенства, применяя определение логарифма, свойства логарифмов;
  • 2 уровень – решать логарифмические неравенства, выбирая самостоятельно способ решения;
  • 3 уровень – уметь применять знания и умения в нестандартных ситуациях.

Развивающие: развивать память, внимание, логическое мышление, навыки сравнения, уметь обобщать и делать выводы

Воспитательные: воспитывать аккуратность, ответственность за выполняемое задание, взаимопомощь.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, самоуправления, контроля.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальный, индивидуальный, работа в парах.

Оборудование: набор тестовых заданий, опорный конспект, чистые листы для решений.

Тип урока: изучение нового материала.

1. Организационный момент. Объявляются тема и цели урока, схема проведения урока: каждому ученику выдается оценочный лист, который ученик заполняет в течении урока; для каждой пары учеников – печатные материалы с заданиями, выполнять задания нужно в парах; чистые листы для решений; опорные листы: определение логарифма; график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств.

Все решения после самооценки сдаются учителю.

Оценочный лист учащегося

2. Актуализация знаний.

Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической функции и ее свойства. Для этого прочитайте текст на с.88–90, 98–101 учебника “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией Ш.А Алимова, Ю.М Колягина и др.

Ученикам раздаются листы, на которых записаны: определение логарифма; изображен график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств, пример решения логарифмического неравенства, сводящегося к квадратному.

3. Изучение нового материала.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 0 1, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

Учебный элемент № 1.

Цель: закрепить решение простейших логарифмических неравенств

Форма организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная работа.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут. Для каждого неравенства имеются несколько вариантов ответов, нужно выбрать верный и проверить по ключу.


КЛЮЧ: 13321, максимальное кол-во баллов – 6 б.

Указания учителя. Проверьте и оцените свою работу. Правильные ответы возьмите у учителя, проставьте количество набранных баллов себе в оценочный лист. Подписанные листы с решениями сдать учителю

Учебный элемент № 2.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, применяя свойства логарифмов.

Указания учителя. Вспомните основные свойства логарифмов. Для этого прочитайте текст учебника на с.92, 103–104.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут.

КЛЮЧ: 2113, максимальное кол-во баллов – 8 б.

Учебный элемент № 3.

Цель: изучить решение логарифмических неравенств методом сведения к квадратному.

Указания учителя: метод сведения неравенства к квадратному состоит в том, что нужно преобразовать неравенство к такому виду, чтобы некоторую логарифмическую функцию обозначить новой переменной, получив при этом квадратное неравенство относительно этой переменной.

Применим метод интервалов.

Указания учителя: Проверьте и оцените работу, правильные ответы возьмите у учителя. Поставьте количество баллов в оценочный лист.

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам придется самостоятельно выбрать метод решения логарифмических уравнений, используя все свои знания и возможности.

Учебный элемент № 4.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, выбрав самостоятельно рациональный способ решения.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут

Указания учителя. Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Проставьте полученные баллы в оценочный лист.

Учебный элемент № 5.

Указания учителя. Молодцы! Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных и нестандартных ситуациях.

Задания для самостоятельного решения:

Указания учителя. Замечательно, если вы справились со всем заданием. Молодцы!

4. Итог урока. Проверьте и оцените свою работу. Подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист.

Оценка за весь урок зависит от числа набранных баллов по всем учебным элементам:

  • если N ≥ 20, то вы получаете оценку “5”,
  • при 16 ≤ N ≤ 19 – оценка “4”,
  • при 8 ≤ N ≤ 15 – оценка “3”,
  • при N 1.11.2011

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector
×
×