0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Нахождение площади фигуры ограниченной линиями yfx xgy

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] ,

S ( G ) = — ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неположительной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f ( x ) или x = g ( y ) .

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Пусть функции y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) будет иметь вид S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 ( y ) и x = g 2 ( y ) : S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) d y .

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S ( G ) = S ( G 2 ) + S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x + — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = — ∫ a b f 2 ( x ) d x — — ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n — 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S ( G i ) = ∫ x i — 1 x i ( f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i ) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 ( x ) — f 1 ( x ) ) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 ( x ) — f ( x ) ) d x = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) — f 1 ( x ) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f ( x ) и x = g ( y ) .

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = — x 2 + 6 x — 5 и прямыми линиями y = — 1 3 x — 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = — x 2 + 6 x — 5 расположен выше прямой y = — 1 3 x — 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S ( G ) = ∫ 1 4 — x 2 + 6 x — 5 — — 1 3 x — 1 2 d x = = ∫ 1 4 — x 2 + 19 3 x — 9 2 d x = — 1 3 x 3 + 19 6 x 2 — 9 2 x 1 4 = = — 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 — 9 2 · 4 — — 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 — 9 2 · 1 = = — 64 3 + 152 3 — 18 + 1 3 — 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З : x ≥ — 2 x 2 = x + 2 2 x 2 — x — 2 = 0 D = ( — 1 ) 2 — 4 · 1 · ( — 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 — 9 2 = — 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке ( 2 ; 2 ) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S ( G ) = ∫ 2 7 ( x — x + 2 ) d x = x 2 2 — 2 3 · ( x + 2 ) 3 2 2 7 = = 7 2 2 — 2 3 · ( 7 + 2 ) 3 2 — 2 2 2 — 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 — 18 — 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S ( G ) = 59 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = — x 2 + 4 x — 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и — x 2 + 4 x — 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = — x 2 + 4 x — 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1 : — 1 3 + 4 · 1 2 — 2 · 1 — 1 = 0 .

Разделив выражение — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 на двучлен x — 1 , получаем: — x 3 + 4 x 2 — 2 x — 1 ⇔ — ( x — 1 ) ( x 2 — 3 x — 1 ) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 — 3 x — 1 = 0 :

x 2 — 3 x — 1 = 0 D = ( — 3 ) 2 — 4 · 1 · ( — 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 — 13 2 ≈ — 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S ( G ) = ∫ 1 3 + 13 2 — x 2 + 4 x — 2 — 1 x d x = — x 3 3 + 2 x 2 — 2 x — ln x 1 3 + 13 2 = = — 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 — 2 · 3 + 13 2 — ln 3 + 13 2 — — — 1 3 3 + 2 · 1 2 — 2 · 1 — ln 1 = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Ответ: S ( G ) = 7 + 13 3 — ln 3 + 13 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = — log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = — log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке ( 0 ; 0 ) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения — log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = — log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке ( 2 ; 0 ) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = — log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = — log 2 x + 1 пересекаются в точке ( 1 ; 1 ) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = — log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = — log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S ( G ) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( — log 2 x + 1 ) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S ( G ) = ∫ 0 2 x 3 d x — ∫ 1 2 x 3 — ( — log 2 x + 1 ) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) — g 1 ( y ) ) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и — log 2 x + 1 относительно x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = — log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 — y ⇒ x = 2 1 — y

Получим искомую площадь:

S ( G ) = ∫ 0 1 ( 2 1 — y — y 3 ) d y = — 2 1 — y ln 2 — y 4 4 0 1 = = — 2 1 — 1 ln 2 — 1 4 4 — — 2 1 — 0 ln 2 — 0 4 4 = — 1 ln 2 — 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 — 1 4

Ответ: S ( G ) = 1 ln 2 — 1 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x — 3 , y = — 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = — 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x — 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = — 1 2 x + 4 :

x = — 1 2 x + 4 О Д З : x ≥ 0 x = — 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 — 4 x + 16 ⇔ x 2 — 20 x + 64 = 0 D = ( — 20 ) 2 — 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 — 144 2 = 4 П р о в е р к а : x 1 = 16 = 4 , — 1 2 x 1 + 4 = — 1 2 · 16 + 4 = — 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , — 1 2 x 2 + 4 = — 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ ( 4 ; 2 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = — 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x — 3 :

x = 2 3 x — 3 О Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x — 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 — 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 — 45 x + 81 = 0 D = ( — 45 ) 2 — 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 — 729 8 = 9 4 П р о в е р к а : x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 — 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ ( 9 ; 3 ) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x — 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 — 3 = 2 3 · 9 4 — 3 = — 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3 :

— 1 2 x + 4 = 2 3 x — 3 ⇔ — 3 x + 24 = 4 x — 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 — 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 — 3 = 1 ⇒ ( 6 ; 1 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = — 1 2 x + 4 и y = 2 3 x — 3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S ( G ) = ∫ 4 6 x — — 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x — 2 3 x — 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 — 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 — x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 — 4 · 6 — 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 — 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 — 9 2 3 + 3 · 9 — 2 3 · 6 3 2 — 6 2 3 + 3 · 6 = = — 25 3 + 4 6 + — 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x — 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = — 1 2 x + 4 ⇒ x = — 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S ( G ) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 — — 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y — 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 — y 2 d y = = 7 4 y 2 — 7 4 y 1 2 + — y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 — 7 4 · 2 — 7 4 · 1 2 — 7 4 · 1 + + — 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 — — 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Урок алгебры в 11-м классе на тему: «Вычисление площадей фигур»

Разделы: Математика

1) Повторить, закрепить и расширить знания по заданной теме.

2) Уметь самостоятельно применять полученные знания по теме к решению задач.

3) Уметь рационально решать задачи.

4) Творчески подходить к решению конкретной задачи.

1. Повторение теоретического материала

Фронтальный опрос (по таблице “Площади фигур”)

Вопрос: Как найти площади изображенных фигур?

2. Разминка (на 3 мин., в тетрадях только решение)

Задача. Найти площади изображенных фигур. Ответы с комментариями.

3. Программированный контроль

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x=0, x=/4

x=-/4, x=/4

Верные ответы: I вариант: 2,3,1 II вариант: 2,4,2

4. Решение задач на закрепление (с проверкой у доски)

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0 делится параболой y=x 2 +2x+4 на две части. Найти площадь каждой части.

3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x)=2x+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0.

4) Составить формулы для нахождения площадей фигур, изображенных на таблице:

Ответы с комментариями:

5) Интересная задача. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках:

(Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)

Указания к решению: sin nx=0 ; x=/n;

где n=1,2,4,8,16…;

5. Задачи с индивидуальным подходом

Задачи, которые прокомментируют сейчас ученики, имеют индивидуальный подход. Поэтому, прежде чем приступить к их решению, надо проанализировать заданную ситуацию. Решения этих задач в тетрадях не пишутся, дома же вы их решите, по возможности, несколькими способами.

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x 2 -4x+8 и y=3x 2 -x 3 , если х[-2;3]

Решение:

  • Если не рисовать графиков данных функций, то надо узнать имеют ли эти графики общие точки на (-2;3).Для этого надо решить уравнение:
  • 3x 2 -x 3 = x 2 -4x+8. Итак, х=2 и х=-2. 2(-2;3).

    Не зная, график какой из функций находится выше другого на (-2;2) и (2;3], площадь фигуры находится так

      Если же нарисовать графики данных функций (что очень не сложно), то замечаем, что всюду на [-2;3] выполняется неравенство: х 2 -4x+83х 2 -х 3

    Сравнивая формулы, полученные для вычисления площади S, видим, что в данном примере значительно легче искать площадь после того, как нарисованы графики функций. А можно ли всё-таки решить задачу, не делая рисунка? Найдите ещё один способ решения! Но есть задачи, в которых построение графиков затруднено.

    2) Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: y=x 2 -4x+sin 2 x/2 и y=-3-cos 2 x/2, если х[2;3].

    Так как графики данных функций построить трудно, то можно выяснить соотношение между функциями, не используя графиков. Исследуем разность данных функций:

    x 2 -4x+sin 2 x/2-(-3-cos 2 x/2)=x 2 -4x+4=(х-2) 2 0

    Следовательно, x 2 -4x+sin 2 x/2>-3-cos 2 x/2 на [2;3], а, значит, график первой функции лежит выше графика второй функции и

    3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y=x 2 при x0, y=1, y=4, x=0

    Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0, графиком функции , обратной у=х 2 , x0. Поэтому эти фигуры имеют равные площади и .

    А всегда ли рационально использовать интеграл при нахождении площади фигуры?

    4) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1.

    Вершины полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5).

    Можно заметить, что ABC — прямоугольный (произведение угловых коэффициентов прямых у=х+и у=9-х равно -1). Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC) не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей треугольников, у которых известны высота и основание или же можно использовать координатный метод.

    6. Домашнее задание

    Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7)

    1. у=х 2 (х0), у=1, у=4, х=0
    2. у=х 2 -4х+8, 3х 2 -х 3 , если если х[-2;3]
    3. у=х 2 -4х+sin 2 (x/2), y=-3-cos 2 (x/2), если х[2;3]
    4. у=3х+1, у=9-х, у=х+1
    5. у=|x-2|,
    6. x|y|=2;x=1;x=3
    7. y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1
    8. При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3?
    9. Вычислить исходя из его геометрического смысла.

    Составить карточку (можно несколько) для зачета, в которой должны быть:

    1. Теоретический вопрос: (определение, свойств без доказательства)
    2. Теоретический вопрос: (с доказательством)
    3. Пример на вычисление неопределенного интеграла (одним из методов)
    4. Пример на вычисление определённого интеграла.
    5. Пример на нахождение первообразной сложной функции.
    6. Пример на нахождение площади фигуры.

    Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

    Приложение интеграла к решению прикладных задач

    Вычисление площади

    Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равенплощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

    Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

    Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

    Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

    y = x 2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вверх на одну единицу (рисунок 1).

    Рисунок 1. График функции y = x 2 + 1

    Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

    Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вниз на одну единицу (рисунок 2).

    Рисунок 2. График функции y = x 2 – 1

    Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

    y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

    Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

    Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

    Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

    Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

    Получим 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откуда .

    Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

    Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

    Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

    Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x1 = 2, x2 = 4.

    На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M1N M2), ограниченный данными линиями.

    Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

    Применительно к данному условию, получим интеграл:

    2 Вычисление объёма тела вращения

    Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

    При вращении вокруг оси Оy формула имеет вид:

    Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси Ох.

    Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

    Рисунок 4. График функции y =

    Искомый объём равен

    Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси Oy.

    Вопросы для повторения

    1 Что называется интегрированием функции?

    2 Основные свойства неопределённого интеграла.

    3 В чём состоит геометрический смысл неопределённого интеграла.

    4 Основные формулы интегрирования.

    5 Способ подставки и способ интегрирования по частям.

    6 Определённый интеграл.

    7 Свойства определённого интеграла

    8 Формула Ньютона – Лейбница.

    9 Геометрический смысл определённого интеграла.

    Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

    Рассмотрим несколько случаев применения определенного интеграла для нахождения площадей плоских фигур.

    1. Пусть на отрезке [a;b] дана непрерывная неотрицательная функция y=f(x).

    представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми х=а, х=b и осью Ох. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

    Т.е. (1)

    2. Фигура ограничена графиком непрерывной неположительной функции, прямыми х=а, х=b и осью Ох. Тогда (2)

    4. Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке функциями y=f(x) и y=g(x) и прямыми х=а, х=b, где . Тогда

    (3)

    4. Фигура прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой x=f(y), прямыми х=а, х=b и осью Оу. Тогда (4)

    Объем тел вращения.

    Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

    Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

    (5)

    Если же необходимо найти объем тела, полученного вращением графика непрерывной на отрезке [a, b] функции у=f(x) вокруг оси Оу, то применяем формулу (6)

    Вычисление пути, пройденного точкой

    Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция временны t, то путь пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле

    (7)

    Работа переменной силы

    Если переменная сила F=F(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке вычисляется по формуле

    (8)

    Практическая часть

    Пример 1. вычислить площадь тела ограниченной области, лежащей между графиками и .

    Решение. Построим графики данных функции по точкам. Эти графики имеют две общих

    точек. х1 =0, х2=1. При этом график функции находится выше графика функции (см. рисунок).

    Значит, по формуле (3) площадь области между графиками равна

    Пример 2. Вычислить объем тела, полученного от вращения графика функции

    [1;3] вокруг оси Ох.

    Решение. Используем формулу (5)

    Пример 3. Скорость движения точки изменяется по закону v=(t 2 +4t-2) м/с. Найдите путь пройденный точкой за 6с от начала движения.

    Решение. По условию f(x)=(t 2 +4t-2), t1=0, t2=6. По формуле (7) имеем:

    Пример 4. Вычислите работу, произведенную при сжатии пружины на 0,03 м, если для сжатия ее на 0,02 м нужна сила 10 Н.

    Решение. Согласно закону Гука F=kx. Т.к. х=0,02 при F=10Н, то

    . Подставляя значение k в закон Гука, имеем: f(x)=500x.

    По формуле (8) имеем:

    (Дж)

    Практические задания

    Контрольные вопросы:

    1. Геометрический смысл определенного интеграла.

    2. Какие прикладные задачи можно решать с помощью определенного интеграла?

    3. Запишите формулу для вычисления пройденного пути.

    4. Запишите формулу для нахождения работы силы.

    5. Запишите формулу для нахождения объема тел вращения.

    6. Какие еще знаете примеры применения на практике определенного интеграла?

    Практическая работа №18

    «Нахождение частных производных, полного дифференциала функций двух переменных»

    Цель работы: развить навыки нахождения частных производных функций двух переменны, полного дифференциала, производной неявной функции.

    Теоретическая часть

    Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому — либо правилу ставится в соответствие единственное значение переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

    Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

    Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М00, у0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

    MM0 3 у 4 -5ln4x+4xу-y. Найдите:

    а) Частные производные

    б) Частные производные в точке М(-2;3);

    в) Полный дифференциал функции;

    г) Полный дифференциал функции в точке М;

    д) Частные производные второго порядка

    а)

    б)

    в) Полный дифференциал функции . Подставим в формулу найденные частные производные

    г) Подставим в полученное выражение значения частных производных в данной точке:

    .

    д)

    Пример 2. Найти полный дифференциал функции .

    Решение.

    Пример 3. Найдите производную неявной функции

    Решение. 1 способ. Найдем полную производную равенства с учетом того, что у=у(х):

    2 способ. Воспользуемся формулой:

    В нашем случае

    Практические задания:

    А) Дана функция z=f(x,y). Найдите:

    1. Частные производные

    2. Частные производные в т. М(2;-1);

    3. Полный дифференциал dz;

    4. Частные производные второго порядка функций.

    Б) Найдите частные производные и полный дифференциал функций:

    В) Найдите производную неявной функции:

    Контрольные вопросы:

    1. Что называется функцией двух переменных?

    Дата добавления: 2018-02-18 ; просмотров: 639 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

    Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

    Из данной статьи вы узнаете, как найти площадь фигуры, ограниченной линиями, используя вычисления с помощью интегралов. Впервые с постановкой такой задачи мы сталкиваемся в старших классах, когда только-только пройдено изучение определенных интегралов и пора приступить к геометрической интерпретации полученных знаний на практике.

    Итак, что потребуется для успешного решения задачи по поиску площади фигуры с помощью интегралов:

    • Умение грамотно строить чертежи;
    • Умение решать определенный интеграл с помощью известной формулы Ньютона-Лейбница;
    • Умение «увидеть» более выгодный вариант решения — т.е. понять, как в том или ином случае будет удобнее проводить интегрирование? Вдоль оси икс (OX) или оси игрек (OY)?
    • Ну и куда без корректных вычислений? ) Сюда входит понимание как решать тот иной тип интегралов и правильные численные вычисления.

    Алгоритм решения задачи по вычислению площади фигуры, ограниченной линиями:

    1. Строим чертеж. Желательно это делать на листке в клетку, с большим масштабом. Подписываем карандашом над каждым графиком название этой функции. Подпись графиков делается исключительно ради удобства дальнейших вычислений. Получив график искомой фигуры, в большинстве случаев будет видно сразу, какие пределы интегрирования будут использованы. Таким образом мы решаем задачу графическим методом. Однако бывает так, что значения пределов дробные или иррациональные. Поэтому, можно сделать дополнительные расчеты, переходим в шагу два.

    2. Если явно не заданы пределы интегрирования, то находим точки пересечения графиков друг с другом, и смотрим, совпадает ли наше графическое решение с аналитическим.

    3. Далее, необходимо проанализировать чертеж. В зависимости от того, как располагаются графики функций, существуют разные подходы к нахождению площади фигуры. Рассмотрим разные примеры на нахождение площади фигуры при помощи интегралов.

    3.1. Самый классический и простой вариант задачи, это когда нужно найти площадь криволинейной трапеции. Что такое криволинейная трапеция? Это плоская фигура, ограниченная осью икс ( у = 0 ), прямыми х = а, х = b и любой кривой, непрерывной на промежутке от a до b. При этом, данная фигура неотрицательна и располагается не ниже оси абсцисс. В этом случае, площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу, вычисляемого по формуле Ньютона-Лейбница:

    Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 — 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

    Какими линиями ограничена фигура? Имеем параболу y = x2 — 3x + 3, которая располагается над осью ОХ, она неотрицательна, т.к. все точки этой параболы имеют положительные значения. Далее, заданы прямые х = 1 и х = 3, которые пролегают параллельно оси ОУ, являются ограничительными линиями фигуры слева и справа. Ну и у = 0, она же ось икс, которая ограничивает фигуру снизу. Полученная фигура заштрихована, как видно из рисунка слева. В данном случае, можно сразу приступать к решению задачи. Перед нами простой пример криволинейной трапеции, которую далее решаем с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

    3.2. В предыдущем пункте 3.1 разобран случай, когда криволинейная трапеция расположена над осью икс. Теперь рассмотрим случай, когда условия задачи такие же, за исключением того, что функция пролегает под осью икс. К стандартной формуле Ньютона-Лейбница добавляется минус. Как решать подобную задачу рассмотрим далее.

    Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

    В данном примере имеем параболу y = x2 + 6x + 2, которая берет свое начало из-под оси ОХ, прямые х = -4, х = -1, у = 0. Здесь у = 0 ограничивает искомую фигуру сверху. Прямые х = -4 и х = -1 это границы, в пределах которых будет вычисляться определенный интеграл. Принцип решения задачи на поиск площади фигуры практически полностью совпадает с примером номер 1. Единственное различие в том, что заданная функция не положительная, и все также непрерывная на промежутке [-4; -1]. Что значит не положительная? Как видно из рисунка, фигура, которая заключается в рамках заданных иксов имеет исключительно «отрицательные» координаты, что нам и требуется увидеть и помнить при решении задачи. Площадь фигуры ищем по формуле Ньютона-Лейбница, только со знаком минус в начале.

    Статья не завершена.

    Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

    8.2 Определение площадей фигур, ограниченных непрерывными линиями

    Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), отрезком [a,b] на оси Ox и двумя вертикалями х = а и х = b, a 2 и y = 0.

    Рис. 6.5. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x 2 и y = 0

    Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f1(x) и f2(x)и прямыми х = а и х = b, вычисляется по формуле:

    Внимание. Чтобы избежать ошибок при вычислении площади, разность функций надо брать по модулю. Таким образом, площадь будет всегда положительной величиной.

    Пример. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями и . Решение представлено на рисунке 6.6.

    1. Строим график функций.

    2. Находим точки пересечения функций с помощью функции root. Начальные приближения определим по графику.

    3. Найденные значения x подставляем в формулу как пределы интегрирования.

    8.3 Построение кривых по заданным точкам

    Построение прямой, проходящей через две заданные точки

    Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и B(x1,y1), предлагается следующий алгоритм:

    1. Прямая задается уравнением y = ax + b,

    где a и b — коэффициенты прямой, которые нам требуется найти.

    Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

    2. Данная система является линейной. В ней две неизвестные переменные: a и b. Систему можно решить матричным способом.

    Пример. Построение прямой, проходящей через точки А(–2,–4) и В(5,7).

    Подставим в уравнение прямой координаты данных точек и получим систему:

    Решение этой системы в MathCAD представлено на рисунке 6.7.

    Рис. 6.7.Решение системы

    В результате решения системы получаем: а = 1.57, b = –0.857. Значит, уравнение прямой будет иметь вид: y = 1.57x – 0.857. Построим эту прямую (рис. 6.8).

    Рис. 6.8. Построение прямой

    Построение параболы, проходящей через три заданные точки

    Для построения параболы, проходящей через три точки А(x0,y0), B(x1,y1) и C(x2,y2), алгоритм следующий:

    1. Парабола задается уравнением

    y = ax 2 + bх + с, где

    а, b и с — коэффициенты параболы, которые нам требуется найти.

    Подставляем в это уравнение заданные координаты точек и получаем систему:

    .

    2. Данная система является линейной. В ней три неизвестные переменные: a, b и с. Систему можно решить матричным способом.

    3. Полученные коэффициенты подставляем в уравнение и строим параболу.

    Пример. Построение параболы, проходящей через точки А(–1,–4), B(1,–2) и C(3,16).

    Подставляем в уравнение параболы заданные координаты точек и получаем систему:

    Решение этой системы уравнений в MathCAD представлено на рисунке 6.9.

    Рис. 6.9. Решение системы уравнений

    В результате получены коэффициенты: a = 2, b = 1, c = –5. Получаем уравнение параболы: 2x 2 +x –5 = y. Построим эту параболу (рис. 6.10).

    Рис. 6.10. Построение параболы

    Построение окружности, проходящей через три заданные точки

    Для построения окружности, проходящей через три точки А(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3), можно воспользоваться следующим алгоритмом:

    1. Окружность задается уравнением

    ,

    где x0,y0 — координаты центра окружности;

    R — радиус окружности.

    2. Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

    .

    Данная система является нелинейной. В ней три неизвестные переменные: x0, y0 и R. Система решается с применением вычислительного блока Given – Find.

    Пример. Построение окружности, проходящей через три точки А(–2,0), B(6,0) и C(2,4).

    Подставим в уравнение окружности заданные координаты точек и получим систему:

    Решение системы в MathCAD представлено на рисунке 6.11.

    Рис. 6.11. Решение системы

    В результате решения системы получено: x0 = 2, y0 = 0, R = 4. Подставим полученные координаты центра окружности и радиус в уравнение окружности. Получим: . Выразим отсюда y и построим окружность (рис. 6.12).

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector