12 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Найти площадь фигуры ограниченной системой уравнений

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой

Когда мы выясняли геометрический смысл определенного интеграла, у нас получилась формула, с помощью которой можно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a , x = b , а также непрерывной (неотрицательной или неположительной) функцией y = f ( x ) . Иногда удобнее задавать функцию, ограничивающую фигуру, в параметрическом виде, т.е. выражать функциональную зависимость через параметр t . В рамках данного материала мы покажем, как можно найти площадь фигуры, если она ограничена параметрически заданной кривой.

После объяснения теории и выведения формулы мы разберем несколько характерных примеров на нахождение площади таких фигур.

Основная формула для вычисления

Допустим, что у нас имеется криволинейная трапеция, границами которой являются прямые x = a , x = b , ось O x и параметрически заданная кривая x = φ ( t ) y = ψ ( t ) , а функции x = φ ( t ) и y = ψ ( t ) являются непрерывными на интервале α ; β , α β , x = φ ( t ) будет непрерывно возрастать на нем и φ ( α ) = a , φ ( β ) = b .

Чтобы вычислить площадь трапеции при таких условиях, нужно использовать формулу S ( G ) = ∫ α β ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t .

Мы вывели ее из формулы площади криволинейной трапеции S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x методом подстановки x = φ ( t ) y = ψ ( t ) :

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β ψ ( t ) d ( φ ( t ) ) = ∫ α β ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t

Учитывая монотонное убывание функции x = φ ( t ) на интервале β ; α , β α , нужная формула принимает вид S ( G ) = — ∫ β α ψ ( t ) · φ ‘ ( t ) d t .

Если функция x = φ ( t ) не относится к основным элементарным, то нам понадобится вспомнить основные правила возрастания и убывания функции на интервале, чтобы определить, будет ли она возрастающей или убывающей.

Решение задач на вычисление площади фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой

В этом пункте мы разберем несколько задач на применение формулы, выведенной выше.

Условие: найдите площадь фигуры, которую образует линия, заданная уравнениями вида x = 2 cos t y = 3 sin t .

Решение

У нас есть параметрически заданная линия. Графически ее можно отобразить в виде эллипса с двумя полуосями 2 и 3 . См на иллюстрацию:

Попробуем найти площадь 1 4 полученной фигуры, которая занимает первый квадрант. Область находится в интервале x ∈ a ; b = 0 ; 2 . Далее умножим полученное значение на 4 и найдем площадь целой фигуры.

Вот ход наших вычислений:

x = φ ( t ) = 2 cos t y = ψ ( t ) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

При k , равном 0 , мы получим интервал β ; α = 0 ; π 2 . Функция x = φ ( t ) = 2 cos t на нем будет монотонно убывать (подробнее см. статью об основных элементарных функциях и их свойствах). Значит, можно применить формулу вычисления площади и найти определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

— ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t ‘ d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 ( 1 — cos ( 2 t ) d t = = 3 · t — sin ( 2 t ) 2 0 π 2 = 3 · π 2 — sin 2 · π 2 2 — 0 — sin 2 · 0 2 = 3 π 2

Значит, площадь фигуры, заданной исходной кривой, будет равна S ( G ) = 4 · 3 π 2 = 6 π .

Ответ: S ( G ) = 6 π

Уточним, что при решении задачи выше можно было взять не только четверть эллипса, но и его половину – верхнюю или нижнюю. Одна половина будет расположена на интервале x ∈ a ; b = — 2 ; 2 . В этом случае у нас бы получилось:

φ ( α ) = a ⇔ 2 cos α = — 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ ( β ) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Таким образом, при k равном 0 , мы получили β ; α = 0 ; π . Функция x = φ ( t ) = 2 cos t на этом интервале будет монотонно убывать.

После этого вычисляем площадь половины эллипса:

— ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t ‘ d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π ( 1 — cos ( 2 t ) d t = = 3 · t — sin ( 2 t ) 2 0 π = 3 · π — sin 2 · π 2 — 0 — sin 2 · 0 2 = 3 π

Важно отметить, что можно взять только верхнюю или нижнюю часть, а правую или левую нельзя.

Можно составить параметрическое уравнение данного эллипса, центр которого будет расположен в начале координат. Оно будет иметь вид x = a · cos t y = b · sin t . Действуя так же, как и в примере выше, получим формулу для вычисления площади эллипса S э л и п с а = πab .

Задать окружность, центр которой расположен в начале координат, можно с помощью уравнения x = R · cos t y = R · sin t , где t является параметром, а R – радиусом данной окружности. Если мы сразу воспользуемся формулой площади эллипса, то то у нас получится формула, с помощью которой можно вычислить площадь круга с радиусом R : S к р у г а = πR 2 .

Разберем еще одну задачу.

Условие: найдите, чему будет равна площадь фигуры, которая ограничена параметрически заданной кривой x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

Решение

Сразу уточним, что данная кривая имеет вид вытянутой астроиды. Обычно астроида выражается с помощью уравнения вида x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Теперь разберем подробно, как построить такую кривую. Выполним построение по отдельным точкам. Это самый распространенный метод, который применим для большинства задач. Более сложные примеры требуют проведения дифференциального исчисления, чтобы выявить параметрически заданную функцию.

У нас x = φ ( t ) = 3 cos 3 t , y = ψ ( t ) = 2 sin 3 t .

Данные функции являются определенными для всех действительных значений t . Для sin и cos известно, что они являются периодическими и их период составляет 2 пи. Вычислив значения функций x = φ ( t ) = 3 cos 3 t , y = ψ ( t ) = 2 sin 3 t для некоторых t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , получим точки x 0 ; y 0 = ( φ ( t 0 ) ; ψ ( t 0 ) ) .

Составим таблицу итоговых значений:

После этого отметим нужные точки на плоскости и соединим их одной линией.

Теперь нам надо найти площадь той части фигуры, что находится в первой координатной четверти. Для нее x ∈ a ; b = 0 ; 3 :

φ ( α ) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ ( β ) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Если k равен 0 , то у нас получится интервал β ; α = 0 ; π 2 , и функция x = φ ( t ) = 3 cos 3 t на нем будет монотонно убывать. Теперь берем формулу площади и считаем:

— ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t ‘ d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · ( 1 — sin 2 t ) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t — ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

У нас получились определенные интегралы, которые можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразные для этой формулы можно найти, используя рекуррентную формулу J n ( x ) = — cos x · sin n — 1 ( x ) n + n — 1 n J n — 2 ( x ) , где J n ( x ) = ∫ sin n x d x .

∫ sin 4 t d t = — cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = — cos t · sin 3 t 4 + 3 4 — cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = — cos t · sin 3 t 4 — 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = — cos t · sin 3 t 4 — 3 cos t · sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = — cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = — cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 · 3 π 16 = 15 π 96

Мы вычислили площадь четверти фигуры. Она равна 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t — ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 — 15 π 96 = 9 π 16 .

Если мы умножим это значение на 4 , получим площадь всей фигуры – 9 π 4 .

Точно таким же образом мы можем доказать, что площадь астроиды, заданной уравнениями x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t , можно найти по формуле S а с т р о и д ы = 3 πa 2 8 , а площадь фигуры, которая ограничена линией x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , считается по формуле S = 3 πab 8 .

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми и и графиком функции . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция неотрицательна на отрезке и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь выражается формулой

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

где — площадь внутренней ступенчатой фигуры, —площадь внешней ступенчатой фигуры, и . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

Таким образом, числа и разделяют одни и те же числовые множества: . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции , сверху графиком функции , а слева и справа прямыми (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями и высотами .

Пусть теперь функция непрерывна на отрезке и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рассмотрим фигуру , симметричную фигуре относительно оси . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке функции , которая на принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция меняет знак на отрезке в конечном числе точек, то значение интеграла дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции , отрезками оси и, быть может, отрезками, параллельными оси (рис. 32).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми (рис. 33).

Решение. Имеем: (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника и прямоугольного треугольника

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой .

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси . Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Записав уравнение кривой в виде , найдем точки пересечения ее с осью , положив . Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

Воспользовавшись формулой из таблицы при , получим:

Значит, окончательно имеем:

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая задана в параметрической форме

где функция монотонна на отрезке , причем , и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как , то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке соответствует значение , а точке — значение . Поэтому

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами и , выходящими из точки , и непрерывной кривой (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка . Пусть — полярное уравнение кривой , а и — углы между полярной осью и лучами и соответственно. При этом пусть функция непрерывна на .

Разобьем данный сектор на частей лучами

и рассмотрим k-й частичный сектор (рис. 39). Пусть — наименьшее значение функции в , a — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Построим два круговых сектора с радиусами и . Обозначим через величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна , а площадь внешней фигуры равна — . Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу и для интеграла . Так как функция непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция . Поэтому для любого найдется такое разбиение отрезка , что . Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства

В то же время по определению определенного интеграла

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы (рис. 40).

4.I. Вычисление площадей

Внимательно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 193—196. Разберите примеры, приведенные в п° 196. При решении задач с геометрическим содержанием всегда старайтесь сопроводить решение чертежом.

I. Уравнения кривых заданы в декартовой системе координат.

443. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы , прямыми X=I9 х — А и отрезком

Решение. В теоретическом курсе показано, что площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

В данном случае (рис. 5) криволинейная трапеция ABDC9 площадь которой мы вычисляем, ограничена параллельными прямыми AB и CD, отрезком прямой AC и отрезком кривой линии BD.

Искомая площадь равна:

444. Вычислить площадь трапеции, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой х = 2.

Решение. Из рисунка 6 видно, что искомая площадь расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно,

445. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми;

Решение. На рисунке 7 изображена фигура, площадь которой мы должны вычислить. Как видно из рисунка, площадь фигуры OBMAO можно представить как разность двух площадей (пл. OBMPO и OAMPU1 где MP — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Ох).

Найдем координаты точки Al. Решая систему уравнений

получим Следов ат ельн о,

Легко видеть, что данную задачу можно решить и другим путем. Искомую площадь можно представить в виде разности двух площадей—пл. OAMNO и пл. OBMNO (MN — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Oy):

Ясно, что значение площади OBMAO не зависит от способа ее вычисления.

446. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой:

Решение. Из уравнений кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ох. Следовательно, можно легко вычислить половину искомой площади (см. рис. 8).

Рекомендуем провести самостоятельно подробное исследование кривой.

Записав уравнение кривой в виде легко найдем точки пересечения кривой с осью Ох, положив у = 0. Мы получим. Учитывая все сказанное, окончательно найдем:

447. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой w И осью Ох, если

Вся площадь петли равна:

Решение. Из рисунка 9 видно, что искомая площадь на сегменте Расположена над осью Ох, а на сегменте

Под осью Ох. Следовательно, достаточно вычислить площадь, ограниченную полуволной синусоиды на отрезке |, и удвоить полученный результат:

448. Найти всю площадь фигуры, ограниченной кривыми , прямыми X = 3, X = —2 и осью Ох.

Решение. Из рисунка 10 видно, что искомая площадь может быть представлена как сумма площадей:

где BA и MN—перпендикуляры, опущенные из точек В и Al на ось Ох.

Определим координаты точек В, С, М, Р. Для этого решим следующие системы уравнений:

Решая систему (I) уравнений, найдем координаты точек В и M : В (I, 2), M <— I, 2).

Решая систему (2) уравнений, найдем координаты точки С : С (3, К».

Решая систему (3) уравнений, найдем координаты точки P : Р(— 2, 5).

Найдем теперь значения промежуточных площадей:

449. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

450. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

451. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами:

452. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

453. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

454. Найти площадь «Ьигуоы. огоаниченной линиями:

455. Найти площадь круга:

456. Найти площадь эллипса

457. Найти площадь, заключенную между кривыми

458. Найти площадь фигуры, ограниченной гипоци-лоидой

459. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой

460. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой , осями координат и прямой х=3,5.

461. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми:

462. Найти площадь частей эллипса отсеченных гиперболой

463. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

464. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми

2. Кривые заданы параметрическими уравнениями. Если кривая, ограничивающая площадь плоской фигуры, задана параметрическими уравнениями:

где функции Непрерывны вместе со своими про

изводными на То для вычисления площади

плоской фигуры следует в определенном интеграле произвести замену переменной:

465. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом!

Решение. Эллипс расположен симметрично относительно обеих осей (рис. Последовательно, можно вычислить сначала • часть площади данной фигуры. Вычислим площадь той части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте:

Найдем пределы интегрирования для переменной t из условий:

466. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:

PsP ш е н и е. Искомая площадь изображена на рисунке 12. Вычислим сначала площадь тсй части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте, это будет

часть всей искомой площади. Найдем пределы интегрирования для переменной / из условий:

467. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды: И осью Ох.

Решение. Из рисунка 13 видно, что при изменении параметра t от 0 до 2л точка (ху у) обегает всю арку циклоиды, причем х изменяется в промежутках от 0 до 2т. Следовательно,

Вся площадь, ограниченная астроидой, равна:

468. Вычислить площадь четверти круга: x = 2cos t, y = 2sint.

469. Найти площадь, ограниченную эволютой эллипса:

(.Эволютой кривой называется геометрическое место её центров кривизны. Эволютой эллипса является деформированная астроида.)

470. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:

х = a(2cost — cos 21), у = a (2sin/— sin 2/).

3. Кривые заданы в полярной системе координат. Из

теоретического курса известно, что площадь S1 ограниченная неподвижным полярным радиусом г0, подвижным полярным радиусом г и кривой г — /(ф), может быть вычислена по следующей формуле:

S = — j J/-2 Лр = J — j /( найдут* ся из условия cos ф> 0, следовательно,

Вычисление площадей плоских областей

Вычисление площадей плоских областей
  1. Услуги проектирования
  2. Двойной интеграл
  3. Вычисление площадей плоских областей

Вычисление площадей плоских областей

В соответствии с свойством Интеграл от единичной функции $s(D)=iintlimits_D < dxdy >$.

Найти площадь области , лежащей внутри кривых $left( < x^2+y^2 >right)^2=a^2left( < x^2-y^2 >right),;x^2+y^2=asqrt 2 left( < sqrt < x^2+y^2 >-x >right)$.

Решение:

Построить эти кривые можно только в полярных координатах; первое уравнение приводится к виду $r=asqrt < cos 2varphi >$, это — лемниската Бернулли; второе — к виду $r=asqrt 2 left( < 1-cos varphi >right)$ — это кардиоида. Решая уравнение $asqrt < cos 2varphi >=asqrt 2 left( < 1-cos varphi >right)$, находим, что точка их пересечения лежит на луче $varphi =arccos (3/4)$.$mathbf < textit < D >> $состоит из двух лунок одинаковой площади; вычислим площадь верхней. При $0leqslant varphi leqslant arccos (3/4)$эта лунка ограничена кардиоидой; при $arccos (3/4)leqslant varphi leqslant pi /4$ — лемнискатой, поэтому $s(D)=iintlimits_D < dxdy >=iintlimits_ < D_ < r,varphi >> < rdrdvarphi >=intlimits_0^ < arccos (3/4) > < dvarphi intlimits_0^ < asqrt 2 (1-cos varphi ) > < rdr >> +intlimits_ < arccos (3/4) >^ < pi /4 > < dvarphi intlimits_0^ < asqrt < 2cos 2varphi >> < rdr >> = \ = intlimits_0^ < arccos (3/4) > < dvarphi cdot left. < frac < r^2 > < 2 >>right|_0^ < asqrt 2 (1-cos varphi ) >> +intlimits_ < arccos (3/4) >^ < pi /4 > < dvarphi cdot left. < frac < r^2 > < 2 >>right|_0^ < asqrt < 2cos 2varphi >> > = \ = a^2intlimits_0^ < arccos (3/4) > < (1-cos varphi )^2dvarphi >+a^2intlimits_ < arccos (3/4) >^ < pi /4 > < cos 2varphi dvarphi >= a^2left. < left( < frac < 3 > < 2 >varphi -2sin varphi +frac < sin 2varphi > < 4 >>right) >right|_0^ < arccos (3/4) >+frac < a^2 > < 2 >left. < sin 2varphi >right|_ < arccos (3/4) >^ < pi /4 >= \ =a^2left( < frac < 3 > < 2 >arccos (3/4)-2sin arccos (3/4)+frac < sin (2arccos (3/4)) > < 4 >>right)+frac < a^2 > < 2 >left( < 1-sin (2arccos (3/4)) >right) = \ = a^2left( < frac < 3 > < 2 >arccos (3/4)-2sqrt < 1-(3/4)^2 >+frac < 1 > < 4 >cdot 2cdot sqrt < 1-(3/4)^2 >cdot frac < 3 > < 4 >>right)+frac < a^2 > < 2 >left( < 1-2cdot sqrt < 1-(3/4)^2 >cdot frac < 3 > < 4 >>right)= \ =frac < a^2 > < 2 >left( < 1-frac < 19sqrt 7 > < 16 >>right)+frac < 3 > < 2 >a^2arccos (3/4) $

Вычислить площадь области (R,) ограниченной линиями ( < y^2 >= < a^2 >— ax,) (y = a + x.)

Решение:

Площадь области типа (I)

(A = largeintlimits_a^bnormalsize < largeintlimits_ < gleft( x right) >^ < fleft( x right) >normalsize < dydx >> )

Площадь области типа (II)

(A = largeintlimits_c^dnormalsize < largeintlimits_ < pleft( y right) >^ < qleft( y right) >normalsize < dxdy >> )

Следовательно, координаты точек пересечения равны $ < x_1 >= 0,;; < y_1 >= a + 0 = a,$ $ < x_2 >= — 3a,;; < y_2 >= a — 3a = — 2a.$ Область (R) представлена на рисунке.

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением (r = cos 2theta.)

Решение:

Рассмотрим лепесток в секторе ( — largefrac < pi > < 4 >normalsize le theta le largefrac < pi > < 4 >normalsize). Область интегрирования имеет вид (R = left[< left( < r,theta >right)|;0 le r le cos 2theta , — largefrac < pi > < 4 >normalsize le theta le largefrac < pi > < 4 >normalsize >right].)

Далее:

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Свойства двойного интеграла

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Лемма о построении множества $[F]_$

Вычисление двойного интеграла

Вычисление площадей плоских областей

Свойства потока векторного поля

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Определение криволинейного интеграла второго рода

Равносильные формулы алгебры высказываний

Теорема о предполных классах

Критерий полноты

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Огравление $Rightarrow $

Урок алгебры в 11-м классе на тему: «Вычисление площадей фигур»

Разделы: Математика

1) Повторить, закрепить и расширить знания по заданной теме.

2) Уметь самостоятельно применять полученные знания по теме к решению задач.

3) Уметь рационально решать задачи.

4) Творчески подходить к решению конкретной задачи.

1. Повторение теоретического материала

Фронтальный опрос (по таблице “Площади фигур”)

Вопрос: Как найти площади изображенных фигур?

2. Разминка (на 3 мин., в тетрадях только решение)

Задача. Найти площади изображенных фигур. Ответы с комментариями.

3. Программированный контроль

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

x=0, x=/4

x=-/4, x=/4

Верные ответы: I вариант: 2,3,1 II вариант: 2,4,2

4. Решение задач на закрепление (с проверкой у доски)

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0 делится параболой y=x 2 +2x+4 на две части. Найти площадь каждой части.

3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x)=2x+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0.

4) Составить формулы для нахождения площадей фигур, изображенных на таблице:

Ответы с комментариями:

5) Интересная задача. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках:

(Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)

Указания к решению: sin nx=0 ; x=/n;

где n=1,2,4,8,16…;

5. Задачи с индивидуальным подходом

Задачи, которые прокомментируют сейчас ученики, имеют индивидуальный подход. Поэтому, прежде чем приступить к их решению, надо проанализировать заданную ситуацию. Решения этих задач в тетрадях не пишутся, дома же вы их решите, по возможности, несколькими способами.

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x 2 -4x+8 и y=3x 2 -x 3 , если х[-2;3]

Решение:

  • Если не рисовать графиков данных функций, то надо узнать имеют ли эти графики общие точки на (-2;3).Для этого надо решить уравнение:
  • 3x 2 -x 3 = x 2 -4x+8. Итак, х=2 и х=-2. 2(-2;3).

    Не зная, график какой из функций находится выше другого на (-2;2) и (2;3], площадь фигуры находится так

      Если же нарисовать графики данных функций (что очень не сложно), то замечаем, что всюду на [-2;3] выполняется неравенство: х 2 -4x+83х 2 -х 3

    Сравнивая формулы, полученные для вычисления площади S, видим, что в данном примере значительно легче искать площадь после того, как нарисованы графики функций. А можно ли всё-таки решить задачу, не делая рисунка? Найдите ещё один способ решения! Но есть задачи, в которых построение графиков затруднено.

    2) Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: y=x 2 -4x+sin 2 x/2 и y=-3-cos 2 x/2, если х[2;3].

    Так как графики данных функций построить трудно, то можно выяснить соотношение между функциями, не используя графиков. Исследуем разность данных функций:

    x 2 -4x+sin 2 x/2-(-3-cos 2 x/2)=x 2 -4x+4=(х-2) 2 0

    Следовательно, x 2 -4x+sin 2 x/2>-3-cos 2 x/2 на [2;3], а, значит, график первой функции лежит выше графика второй функции и

    3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y=x 2 при x0, y=1, y=4, x=0

    Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0, графиком функции , обратной у=х 2 , x0. Поэтому эти фигуры имеют равные площади и .

    А всегда ли рационально использовать интеграл при нахождении площади фигуры?

    4) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1.

    Вершины полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5).

    Можно заметить, что ABC — прямоугольный (произведение угловых коэффициентов прямых у=х+и у=9-х равно -1). Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC) не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей треугольников, у которых известны высота и основание или же можно использовать координатный метод.

    6. Домашнее задание

    Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7)

    1. у=х 2 (х0), у=1, у=4, х=0
    2. у=х 2 -4х+8, 3х 2 -х 3 , если если х[-2;3]
    3. у=х 2 -4х+sin 2 (x/2), y=-3-cos 2 (x/2), если х[2;3]
    4. у=3х+1, у=9-х, у=х+1
    5. у=|x-2|,
    6. x|y|=2;x=1;x=3
    7. y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1
    8. При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3?
    9. Вычислить исходя из его геометрического смысла.

    Составить карточку (можно несколько) для зачета, в которой должны быть:

    1. Теоретический вопрос: (определение, свойств без доказательства)
    2. Теоретический вопрос: (с доказательством)
    3. Пример на вычисление неопределенного интеграла (одним из методов)
    4. Пример на вычисление определённого интеграла.
    5. Пример на нахождение первообразной сложной функции.
    6. Пример на нахождение площади фигуры.

    Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

    Приложение интеграла к решению прикладных задач

    Вычисление площади

    Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равенплощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

    Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

    Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

    Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

    y = x 2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вверх на одну единицу (рисунок 1).

    Рисунок 1. График функции y = x 2 + 1

    Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

    Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вниз на одну единицу (рисунок 2).

    Рисунок 2. График функции y = x 2 – 1

    Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

    y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

    Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

    Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

    Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

    Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

    Получим 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откуда .

    Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

    Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

    Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

    Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x1 = 2, x2 = 4.

    На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M1N M2), ограниченный данными линиями.

    Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

    Применительно к данному условию, получим интеграл:

    2 Вычисление объёма тела вращения

    Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

    При вращении вокруг оси Оy формула имеет вид:

    Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси Ох.

    Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

    Рисунок 4. График функции y =

    Искомый объём равен

    Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси Oy.

    Вопросы для повторения

    1 Что называется интегрированием функции?

    2 Основные свойства неопределённого интеграла.

    3 В чём состоит геометрический смысл неопределённого интеграла.

    4 Основные формулы интегрирования.

    5 Способ подставки и способ интегрирования по частям.

    6 Определённый интеграл.

    7 Свойства определённого интеграла

    8 Формула Ньютона – Лейбница.

    9 Геометрический смысл определённого интеграла.

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector