11 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Парабола свойства и график квадратичной функции

Парабола свойства и график квадратичной функции

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 0.

y = 0,5x 2 — 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а 2 + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с 0:

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

Сложнее с параметром b. Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а. Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х) находится по формуле хв = — b/(2а). Таким образом, b = — 2ахв. То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (хв > 0) или левее (хв 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Значит b = — 2ахв = -++ = -. b 0, b 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, хв > 0. Значит b = — 2ахв = —+ = +. b > 0. Окончательно имеем: а 0, с > 0.

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с 0)

Или ниже нуля (с 2 — 4:

Руслан Александрович — репетитор по математике

тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

Квадратичная функция.

Квадратным трёхчленом называется многочлен 2-ой степени, то есть выражение вида ax 2 + bx + c, где a ≠ 0, b, c — (обычно заданные) действительные числа, называемые его коэффициентами, x — переменная величина.

Обратите внимание: коэффициент a может быть любым действительным числом, кроме нуля. Действительно, если a = 0, то ax 2 + bx + c = 0·x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. В этом случае в выражении не остаётся квадрата, поэтому его нельзя считать квадратным трёхчленом. Однако, такие выражения-двучлены как, например, 3x 2 − 2x или x 2 + 5 можно рассматривать как квадратные трёхчлены, если дополнить их недостающими одночленами с нулевыми коэффициентами: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0 и x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.

Если стоит задача, определить значения переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает нулевые значения, т.е. ax 2 + bx + c = 0, то имеем квадратное уравнение.

Если существуют действительные корни x1 и x2 некоторого квадратного уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные множители: ax 2 + bx + c = a(xx1)(xx2)

Замечание: Если квадратный трёхчлен рассматривать на множестве комплексных чисел С, которое, возможно, вы еще не изучали, то на линейные множители его можно разложить всегда.

Когда стоит другая задача, определить все значения, которые может принимать результат вычисления квадратного трёхчлена при различных значениях переменной х, т.е. определить y из выражения y = ax 2 + bx + c, то имеем дело с квадратичной функцией.

При этом корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции.

Квадратный трёхчлен также можно представить в виде

Это представление удобно использовать при построении графика и изучении свойств квадратичной функции действительного переменного.

Квадратичной функцией называется функция, заданная формулой y = f(x), где f(x) — квадратный трёхчлен. Т.е. формулой вида

где a ≠ 0, b, c — любые действительные числа. Или преобразованной формулой вида

.

Графиком квадратичной функции является парабола, вершина которой находится в точке .

Обратите внимание: Здесь не написано, что график квадратичной функции назвали параболой. Здесь написано, что графиком функции является парабола. Это потому, что такую кривую математики открыли и назвали параболой раньше (от греч. παραβολή — сравнение, сопоставление, подобие), до этапа подробного изучения свойств и графика квадратичной функции.

Парабола — линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из образующих этого конуса.

Парабола обладает еще одним интересным свойством, которое также используется как её определение.

Парабола представляет собой множество точек плоскости, расстояние от которых до определенной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до определенной прямой, называемой директрисой параболы.

Построить эскиз графика квадратичной функции можно по характерным точкам.
Например, для функции y = x 2 берем точки

Соединяя их от руки, строим правую половинку параболы. Левую получаем симметричным отраженим относительно оси ординат.

Для построения эскиза графика квадратичной функции общего вида в качестве характерных точек удобно брать координаты её вершины, нули функции (корни уравнения), если они есть, точку пересечения с осью ординат (при x = 0, y = c) и симметричную ей относительно оси параболы точку (−b/a; c).

Но в любом случае по точкам можно построить только эскиз графика квадратичной функции, т.е. приблизительный график. Чтобы построить параболу точно, нужно использовать её свойства: фокус и директрису.
Вооружесь бумагой, линейкой, угольником, двумя кнопками и крепкой нитью. Прикрепите одну кнопку примерно в центре листа бумаги — в точке, которая будет фокусом параболы. Вторую кнопку прикрепите к вершине меньшего угла угольника. На основаниях кнопок закрепите нить так, чтобы её длина между кнопками равнялась большому катету угольника. Начертите прямую линию, непроходящую через фокус будущей параболы, — директрису параболы. Приложите линейку к директрисе, а угольник к линейке так, как показано на рисунке. Перемещайте угольник вдоль линейки, одновременно прижимая карандаш к бумаге и к угольнику. Следите за тем, чтобы нить была натянута.

Измерьте расстояние между фокусом и директрисой (напоминаю — расстояние между точкой и прямой определяется по перпендикуляру). Это фокальный параметр параболы p. В системе координат, представленной на правом рисунке, уравнение нашей параболы имеет вид: y = x 2 /2p. В масштабе моего рисунка получился график функции y = 0,15x 2 .

Замечание: чтобы построить заданную параболу в заданном масштабе, делать нужно всё то же самое, но в другом порядке. Начинать нужно с осей координат. Затем начертить директрису и определить положение фокуса параболы. И только потом конструировать инструмент из угольника и линейки. Например, чтобы на клетчатой бумаге построить параболу, уравнение которой у = x 2 , нужно расположить фокус на расстоянии 0,5 клеточки от директрисы.

Свойства функции у = x 2

  1. Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции — положительная полупрямая: E(f) = [0; ∞).
  3. Функция у = x 2 четная: f(−x) = (−x) 2 = x 2 = f(x) .
    Ось ординат является осью симметрии параболы.
  4. На промежутке (−∞; 0) функция монотонно убывает.
    На промежутке (0; + ∞) функция монотонно возрастает.
  5. В точке x = 0 достигает минимального значения.
    Точка с координатами (0;0) является вершиной параболы.
  6. Функция непрерывна на всей области определения.
  7. Асимптот не имеет.
  8. Нули функции: y = 0 при x = 0.

Свойства квадратичной функции общего вида.

  1. Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции зависит от знака коэффициента a.
    При a > 0 ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее (ymin), но не имеет наибольшего значения: E(f) = [ ymin; ∞) ;
    при a 2 + bx + c не является ни четной, ни нечетной.
    Осью симметрии параболы является прямая x = −b/2a .
    Функция будет четной только в случае, когда эта прямая совпадает с осью Oy, т.е. при b = 0.
  3. При a > 0 функция монотонно убывает на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно возрастает на промежутке (−b/2a; ∞).
    При a 0 — минимум функции.

Оба значения определяются по формуле y = − b 2 − 4ac _______ . 4a

Точка с координатами является вершиной параболы.

  • Функция непрерывна на всей области определения.
  • Асимптот не имеет.
  • Парабола пересекает ось ординат в точке (0;c).
    Если квадратный трёхчлен имеет дейтсивтельные корни x1x2, то парабола пересекает ось абсцисс в точках (x1;0) и (x2;0).
    При x1 = x2 парабола касается оси абсциcс в точке (x1;0).
  • Производная квадратичной функции вычисляется по формуле (ax 2 + bx + c)’ = 2ax + b.

    График квадратичной функции, заданной общей формулой, лучше всего строить и изучать пользуясь Правилами преобразования графиков функций.
    Для этого нужно сначала перейти от формулы y = ax 2 + bx + c к виду, удобному для преобразований, y = m(kx + l) 2 + n, где k, l, m, n — числа, зависящие от a, b, c, т.е. к виду
    .
    Затем взять за основу параболу y = x 2 и применить к ней следующие преобразования:

    • Параллельный перенос (сдвиг) исходной параболы на l = b/2a единиц влево (если l 2 − 4ac)/4a единиц вверх или вниз в зависимости от знака n (при n >0 вверх).

    Формулы для такого перехода можно выучить наизусть, а можно научиться выделять полный квадрат из трёхчлена с заданными коэффициентами. Это умение весьма полезно также для решения некоторых уравнений и неравенств, для вычисления интегралов и т.д.

    Рассмотрим пример:
    Пусть y = 3x 2 − 5x + 2
    1) Объединяем в скобки первые два слагаемых и выносим за скобки коэффициент при х 2 .
    2) В скобках умножим и одновременно разделим на 2 коэффициент при x.
    3) Сравним с формулой возведения двучлена в квадрат: имеем внутри скобок квадрат числа x, удвоенное произведение x на дробь 5/6. Чтобы применить эту формулу не хватает второго квадрата, поэтому добавим недостающее слагаемое 5 2 /6 2 и одновременно вычтем его, чтобы сохранилось исходное значение выражения.
    4) Сворачиваем квадрат по формуле и раскрываем большую скобку.
    5) Оставшиеся числовые дроби приводим к общему знаменателю и складываем.

    Итак, чтобы построить график функции y = 3x 2 − 5x + 2 из графика y = x 2 нужно последний сдвинуть по оси Ox вправо на 5/6 ≈ 0,83 единицы. Затем растянуть вдоль оси Oy в 3 раза и, наконец, опустить по оси Oy на 1/12 ≈ 0,08 единицы.
    Посмотрите, что получилось.

    Если Вы являетесь моим учеником или подписчиком, то можете поработать с интерактивными версиями этих графиков.

    Упражнение:
    Постройте по характерным точкам эскиз графика функции y = x 2 .
    Методом преобразования получите эскиз графика функции y = −x 2 + 4x + 6 .
    Посмотрите в каких точках график этой функции пересекает ось Ox и сравните их координаты (абсциссы) с корнями уравнения −x 2 + 4x + 6 = 0 , вычисленными через дискриминант. Насколько точным оказалось ваше графическое решение уравнения?

    Преобразуем выражение с выделением полного квадрата:

    Строим график функции
    .

    Для этого применяем следующие шаги: сдвиг на 2 клетки вправо, разворот ветвей вниз (вершина — точка, относительно которой поворачиваем), поднимаем вершину и, соответственно, всю параболу вверх на 10 клеточек. Вот что должно получиться
    .

    Визуально определяем корни. Парабола пересекает ось Ox примерно на одну пятую часть клетки левее минус единицы и настолько же правее пятерки, т.е. x1 ≈ −1,2 , x2 ≈ 5,2 .

    Решение по формулам нахождения корней квадратного уравнения дает ответы x1 = 2 − √10 __ , x2 = 2 + √10 __ .
    С помощью калькулятора вычисляем x1 = −1,162277660. , x2 = 5,162277660.

    Парабола — очень интересная кривая, квадратичная функция часто встречается при описании различных природных явлений, экономических процессов.

    Видеоуроки с параболой.

    Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена.

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента а — коэффициента при х 2 .

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента b — коэффициента при х.

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения параметра c.

    Задачи на анализ графика квадратичной функции.

    Задания вида «Установить соответствие между коэффициентами квадратного трёхчлена и приведенными графиками квадратичной функции» встречаются в ОГЭ по математике в 9-ом классе, а также необходимы сдающим ЕГЭ за 11 класс в качестве промежуточного действия.

    Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

    Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

    Квадратичная функция

    Квадратичная функция — функция вида:

    В уравнении квадратичной функции:

    a –старший коэффициент

    b – второй коэффициент

    с свободный член.

    Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции

    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные.

    Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.

    Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y отрицательные, а вторая часть – в I V четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.

    1) Область определения функции:

    2)Область значения функции:

    3)Наибольшее и наименьшее значение функции:

    4)Y(x)=x 2 — четная функция(т.к.f(-x)=x 2 =(-x) 2 =f(x) ).

    График симметричен относительно оси oY .

    5) Ограниченность функции:

    Если a>0, функция ограничена снизу.

    Если добавить константу d (где d любое число), в качестве слагаемого к X , то произойдет перемещение параболыпо оси (вместе с вертикальной асимптотой).

    В таком случае уравнением функции станет:

    Если d >0 ( y(x)=(x+d) 2 ) , то график функции передвигается по оси oX влево.

    Для примера возьмем уравнение y=(x+2) 2

    Если d 2 ) , то график функции передвигается по оси oX вправо.

    Для примера возьмем уравнение y=(x-2) 2

    Если добавить константу c(где cлюбое число) к X 2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

    В таком случае уравнением функции станет:

    Если c >0 ( y(x)=(x) 2 +c ), то график функции передвигается по оси oY вверх .

    Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 +2

    Если c 2 -c ), то график функции передвигается по оси oY вниз.

    Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 -3

    Дискриминант и нахождение корней

    1) 1) Если D>0 то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 2 решения, уравнение y=ax 2 +bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

    2) Если D=0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax 2 +bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

    3) Если D 2 +bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax 2 +bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

    Координаты вершины параболы

    Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:

    Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.

    Точка пересечения с осью oY

    Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c.

    Алгоритм построения квадратичной параболы

    1) Направление ветвей.

    2) Координаты вершины параболы.

    3) Корни дискриминанта.

    4) Дополнительные точки.

    5) Построение графика.

    Построим функцию y=x 2 -6x+15

    В квадратичном трехчлене x 2 -6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

    Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

    Выразим квадрат разности: x 2 -6x+15=(x 2 -6x+9)+6,

    Соберем формулу: (x 2 -6x+9)+6=(x-3) 2 +6,

    У нас получилась функция y=(x-3) 2 +6,

    Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.

    Следовательно, график функции y=(x-3) 2 +6 будет выглядеть таким образом:

    Построим функцию y=x 2 +8x+17

    В квадратичном трехчлене x 2 +8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

    Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

    Выразим квадрат разности: x 2 +8x+17=(x 2 +8x+16)+1,

    Соберем формулу: (x 2 +8x+16)+1=(x+4) 2 +1,

    У нас получилась функция y=(x+4) 2 +1,

    Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.

    Следовательно, график функции y=(x+4) 2 +1 будет выглядеть таким образом:

    Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:

    1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;

    2) Соберем, получившуюся формулу;

    3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;

    4) Построим график.

    Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

    Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

    Парабола свойства и график квадратичной функции

    Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

    Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

    Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

    Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с) нулю равняться могут.

    Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

    Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 0.

    y = 0,5x 2 — 3x + 1

    В данном случае а = 0,5

    А теперь для а 2 + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с 0:

    Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

    Сложнее с параметром b. Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а. Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х) находится по формуле хв = — b/(2а). Таким образом, b = — 2ахв. То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (хв > 0) или левее (хв 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Значит b = — 2ахв = -++ = -. b 0, b 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, хв > 0. Значит b = — 2ахв = —+ = +. b > 0. Окончательно имеем: а 0, с > 0.

    Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с 0)

    Или ниже нуля (с 2 — 4:

    Руслан Александрович — репетитор по математике

    тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

    тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

    тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

    «Диалоги о параболе». Применение свойств графика квадратичной функции

    Разделы: Математика

    Цель: Показать применение свойств графика квадратичной функции.

    Образовательные:

    1. Приобретение знаний по применению графического изображения квадратичной функции.
    2. Применение приемов решения задач.

    Развивающие:

    1. Совершенствование умения строить параболу.
    2. Применение свойств квадратичной функции в других и их взаимосвязь с математикой.

    Воспитательные:

    1. Пробудить интерес к истории математики.
    2. Способствовать расширению кругозора через информационный материал, диалоги и совместные размышления.

    Оборудование:

    1. Геометрический инструмент.
    2. Переносные доски.
    3. Кодоскоп и комплект наглядно-методического материала.
    4. Компьютерная презентация.
    5. Исторический материал.

    Метод:

    1. Словесный.
    2. Практический.
    3. Групповая работа.
    4. Театрализованный.

    Тип урока: заключительный по теме “Квадратичная функция” с использованием активных методов.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Твори, ищи, фантазируй смелей —
    Поиск идет необычной идеи!
    Сваливай мысли в гору большую,
    Из сотни простых найдем золотую.
    Камнем в соседа бросать не смей,
    Бросишь камень — не будет идей!
    Особенно цениться комплекс идей,
    Созрели идеи — говори их скорей!

    2. Вести с урока.

    1) повторить определение квадратичной функции, ее свойства и график. (Фронтальная работа).

    2) понятие параболы. (Ученик объясняет, используя компьютерную презентацию)

    3) различие параболы: по направлению ветвей, по координатам вершин, по коэффициенту а,

    3. Работа по группам, с последующим показом результатов на переносных досках:

    1 группа: Постройте график функции = — x — 6

    Алгоритм решения

    1. Укажите направление ветвей параболы;
    2. Вычислите координаты вершины параболы;
    3. Укажите ось симметрии параболы:
    4. Найдите точки пересечения с осью абсцисс (если это возможно);
    5. Найдите точку пересечения с осью ординат;
    6. Полученные точки соедините кривой;

    2 группа: Решите неравенство

    1. Упростите неравенство

    2. Постройте график квадратичной функции:

    1.направление ветвей;
    2. укажите ось симметрии параболы;
    3.Найдите точки пересечения параболы с осями;
    4.схематически постройте параболу;

    3.Укажите промежуток, удовлетворяющий неравенству.

    3 группа: Найдите решения неравенства.

    Принадлежащий промежутку <-1,->

    1. Постройте график квадратичной функции по плану:

    1.укажите направление ветвей параболы;
    2.Найдите точки пересечения с осями координат;
    3.укажите ось симметрии параболы;
    4.схематически постройте параболу

    2. Укажите решения неравенства, удовлетворяющее условия задачи,

    4 группа: Найдите область определения выражения

    Составьте неравенство по смыслу задачи.

    Постройте график квадратичной функции:

    1. направление ветвей параболы;

    2. укажите ось симметрии параболы;

    3. найдите точки пересечения с осями координат.

    3. Найдите промежуток, удовлетворяющий решению неравенства.

    4. Из истории математики: Диалог Герона и Архимеда о применениях параболических зеркал. Диалог в ролях:

    Государь! Какая неожиданность в столь поздний час! Чем я обязан чести визита царя Гиерона в мой скромный дом?

    Архимед дорогой друг сегодня вечером в моем дворце был пир в честь великой победы нашего маленького города Сиракузы над могущественным Римом. Я приглашал тебя, но твое место осталось пустым. Почему же ты не пришел — ты кому главным образом мы обязаны сегодняшней победой? Твои громадные вогнутые медные зеркала подожгли десять из двадцати больших кораблей римлян. Подобные огненным факелам они покинули гавань гонимые юго-западным ветром, и все затонули, прежде чем достигли открытого моря. Я не смог заснуть, не поблагодарив тебя за избавление нашего города от врага.

    Архимед: Ты заставляешь меня краснеть от смущения. Но разреши снова напомнить тебе, что война еще не закончена. Хочешь ли ты услышать мой совет?

    Гиерон: Я как царь даже приказываю тебе откровенно высказать своё мнение?

    Архимед: Настал момент, когда тебе нужно заключить мир с Римом. Когда же известие о сегодняшней битве достигнет Рима, римляне так рассвирепеют, что не удовлетворятся ничем, кроме полной победы.

    Гиерон: Твой анализ верен. Действительно сегодня вечером я получил послание от Марцелла в котором он предлагает мир и отход его войск на определенных условиях.

    Я принял все его условия кроме одного – отдать тебя в качестве заложника. Я согласился отдать ему сына и дочь, но при условии, что мне двух своих детей. Что касается тебя я сказал ему, что преклонные года не позволяют тебе жить в лагере. Однако, зная, что в действительности, что ему нужен не ты сам, а твоя мудрость я обещал, что подробно опишешь все свои изобретения имеющие военное значение.

    Архимед: Я ничего не буду писать о моих изобретениях относительно способов ведения войны. Это был не тот вид деятельности, которым я хотел бы доказать практическую ценность математических идей. Я увидел людей, убитых моими машинами, и почувствовал себя виновным. Я дал торжественную клятву Афине, что никому никогда не открою секрет моих военных машин ни устно, ни письменно. Я пытался успокоить совесть, говоря себе, что новость о победе Архимеда над римлянами с помощью математики достигнет всех уголков мира, говорящего на греческом языке, это будут помнить даже тогда, когда война закончится, и секреты моих военных машин будут похоронены вместе со мной.

    Вероятно, я был просто глупцом, но я полагал, что мог бы изменить ход истории. Я был обеспокоен будущим Греции и думал, что, если бы мы приняли математику в больших масштабах – в конце концов, математика является изобретением греков и лучшим достижением греческого ума, — мы могли бы спасти наш греческий образ жизни. Теперь, я считаю, уже поздно. Римляне завоюют не только Сиракузы , но и все остальные греческие города, наше время кончается.

    Гиерон: Это правда, мой друг Архимед я получаю вести от властителей, с которыми я поддерживаю дружеские отношения – они интересуются твоими изобретениями.

    Ты хочешь сказать, что твои изумительные машины основаны на математике, которую знает каждый образованный человек?

    Архимед: Ты недалёк от истины.

    Гиерон: Можешь ли ты привести пример?

    Архимед: Хорошо, пример приведёт мой ученик.

    Слова ученика Архимеда: Возьмём в качестве примера зеркало, которое сегодня сослужило такую превосходную службу. Мы просто использовали хорошо известное свойство параболы: если какую-нибудь точку Р параболы соединить с фокусом параболы, а затем провести через Р прямую, параллельную оси, то эти две линии образуют равные углы с касательной к параболе в точке Р. Эту теорему можно найти в труда ученых из Александрии.

    Гиерон: Даже не вникая в твои секреты, я понял, что кроме свойств параболы ты должен многое знать о металлах и об искусстве их обработки. Выходит, что значений математики не достаточно, если кто-то хочет применять их на деле. Я думаю, мы должны учится у римлян, тогда нам легче будет воевать с ними.

    Я должен идти. Я хочу немного поспать. Завтра необходимо подготовится к новой атаке. Спасибо за интересный разговор.

    5. Применение параболы в физике, технике.

    1. Рассказ ученика о траектории движения мяча:

    Пусть мяч подбросили вертикально вверх с высоты 1,5 м, придав ему начальную скорость 10м/с. Тогда высота h (в м), на которой находится мяч, есть квадратичная функция времени полота t (в с). Если считать, что g =10 м/, то функцию h= f(t) можно описать формулой h= 1,5+10t-5. График этой функции — часть параболы, изображенной на рисунке 2.5. По графику видно, что мяч взлетел примерно на 6.5 м и после двух секунд полета упал на землю.

    2. О параболоиде зеркальном (показ на доске).

    6. Применение свойств параболы при решении задач повышенной сложности.

    1. Сколько корней имеет уравнение:

    Если мысленно раскрыть скобки, то легко видеть, что левую часть уравнения можно представить в виде квадратного трехчлена с положительным коэффициентом при х в квадрате. Обозначим этот трехчлен через (х). Найдем (101):

    (101) = 0 + 0 – 1 2.04.2008

    «Повседневная жизнь и график квадратичной функции»

    Квадратичная функция.. Одни эти слова наводят скуку и уныние. а если посмотреть на все это с другой стороны? Давайте посмотрим!

    Скачать:

    Предварительный просмотр:

    «Повседневная жизнь и график квадратичной функции»

    Номинация «Проект 9-11 классы»

    Работу выполнила ученица 11 класса

    МОУ «Чапаевская СОШ»

    Руководитель работы учитель математики

    МОУ «Чапаевская СОШ»

    Джум Светлана Павловна

    I. Теоретическая часть

    1.1 Изучение определения и графика параболы

    1.2 Парабола в природе

    1.3 Парабола в архитектуре

    1.4 Парабола в повседневной жизни

    1.5 История изобретения седла

    1.6 Классификация сёдел

    1.7 Алгоритм изготовления седла

    II. Практическая часть

    2.1. Изготовление макета седла скакового типа

    3.1 Описание аналитической части

    3.3. Выводы и предложения

    Тема «Квадратичная функция и её график» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки. имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с параболой.

    Объект исследования: Квадратичная функция.

    Предмет исследования: График квадратичной функции – парабола.

    1. Собрать в разных энциклопедических, научных, исторических источниках материал о параболах.

    2. Изучить свойства парабол, её зависимость от задающей её функции.

    3. Обнаружить параболы в окружающем нас мире.

    4. Провести личное исследование.

    1. Изучить теорию.
    2. Составить историческую справку о параболах.
    3. Описать параболы в окружающем нас мире и различных отраслях.
    4. Провести собственное исследование.
    1. Наблюдение.
    2. Теоретический.
    3. Материальное моделирование.
    4. Аналитический.

    Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в другом большом количестве знакомых нам объектов.

    В 8 классе мы начали изучать квадратичную функцию , графиком которой является парабола. Мне стало интересно, для чего мы её изучаем, и где её можно увидеть. Я обратилась к источникам дополнительной информации и открыла для себя много интересного. Оказалось, что парабола окружает нас повсюду. Анализируя полученную информацию я решила поделится ею и написать исследовательскую работу. И начала я с классического определения парабола.

    1.1 Изучение и определение графика параболы

    Пара́бола ( греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек , равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

    Парабола, заданная квадратичной функцией

    Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

    , , где D= b 2 — 4ac — дискриминант квадратного трёхчлена.

    Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 ( a

    Подписи к слайдам:

    «Повседневная жизнь и график квадратичной функции» выполнила: ученица 11 класса Краснобаева Виктория Руководитель: Джум С.П. учитель математики МОУ «Чапаевская СОШ»

    Актуальность : Тема «Квадратичная функция и её график» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки. имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с параболой. Гипотеза: Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в другом большом количестве знакомых нам объектов

    Цели: Собрать в разных энциклопедических, научных, исторических источниках материал о параболах. Изучить свойства парабол, её зависимость от задающей её функции. Обнаружить параболы в окружающем нас мире. Провести личное исследование. Задачи : Изучить теорию. Составить историческую справку о параболах. Описать параболы в окружающем нас мире и различных отраслях. Провести собственное исследование.

    Методы: Наблюдение. Теоретический. Материальное моделирование. Аналитический.

    Квадратичная функция Пара́бола (греч. παραβολή — приложение)

    Парабола в природе

    Парабола в архитектуре Памятник оборонного зодчества Киевской Руси периода правления Ярослава Мудрого.

    Мост золотые ворота – висячий мост через пролив Золотые Ворота Сан-Франциско.

    Ворота Сент-Луиса в Миссури.

    Каса Мила в Барселоне.

    Эйфелева башня в Париже.

    Станция «Киевская» Кольцевой линии Московского метрополитена.

    Стадион Фишт , город Сочи.

    В повседневной жизни

    Седло – часть снаряжения для езды на спине животного.

    Классификация сёдел по типу: Английский тип Тип вестерн Азиатский тип А так же тип: Дамское и Черкесское седла

    Сёдла английского типа Выездковое Троеборное Конкурсное Спортивное Седло для шоу

    Седло типа Вестерн Черкесское Азиатское Дамское

    Изготовления макета седла

    Буклет «Свойства квадратичной функции»

    Вывод: Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась и парабола является одной из ярких представительниц в окружающем нас мире, а не только линией в тетради. Она не простая фигура второго порядка, а замечательная кривая, которая практически всегда рядом с нами.

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector