2 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Решение логарифмических неравенств второй степени

Решение логарифмических неравенств второй степени. Логарифмические неравенства. Исчерпывающий гид (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0

Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.

Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить — см. «Что такое логарифм ».

Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:

f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.

Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.

Задача. Решите неравенство:

Для начала выпишем ОДЗ логарифма:

Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:

Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Задача. Решите неравенство:

Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:

Затем — нули знаменателя:

Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:

Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.

Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.

Практика.

Основание логарифма равно $2>1$, поэтому знак не меняется. Пользуясь определением логарифма, получим:

Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

V , где V — один из знаков неравенства: , ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (1″ title=»a>1″/>), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

log_a» title=»log_a>log_a«/>

g(x)> 0> >>< >» title=»delim<1><g(x)> 0> >>< >«/>

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (

log_a» title=»log_a>log_a«/>

0> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1 . Решим неравенство:

log_<1/3><(x^2+2x-2)>» title=»log_<1/3><(x+4)>>log_<1/3><(x^2+2x-2)>«/>

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

0> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

0> -4> >>< >» title=»delim<1><0> -4> >>< >«/>

Корни квадратного трехчлена: ,

Ответ:

2 . Решим неравенство:

log_><3>» title=»log_2<(2-x)>+log_<1/2><(x-1)>>log_><3>«/>

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

2log_<2><3>» title=»log_2<(2-x)>-log_<2><(x-1)>>2log_<2><3>«/>

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

log_<2><(x-1)>+2log_<2><3>» title=»log_2<(2-x)>>log_<2><(x-1)>+2log_<2><3>«/>

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

log_<2><(x-1)>*<3>^2″ title=»log_2<(2-x)>>log_<2><(x-1)>*<3>^2″/>

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

9(x-1)> 0> >>< >» title=»delim<1><<2-x>9(x-1)> 0> >>< >«/>

1> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Ответ:

3 . Решим неравенство:

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

Введем замену переменных:

.

Получим квадратное неравенство:

Значит, .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

=1> >>< >» title=»delim<1> <>>< >«/>

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

=1> >>< >» title=»delim<1>< <(x-x^2+2)>=1> >>< >«/>

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

=2><<(x-x^2+2)>>0> >>< >» title=»delim<1> <<<(x-x^2+2)>=2><<(x-x^2+2)>>0> >>< >«/>

Последнее неравенство системы — это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

=0″ title=»x^2-x+2>=0″/> Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду =0″ title=»x-x^2>=0″/>, отсюда

Ответ:

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения (x − 3) 2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения и также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения и не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3Cx-1%3E%3Cx-3%3E%3E0″ /> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства log_<2>5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex%3Elog_%3C2%3E5″ /> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″ /> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″ />. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex-log_%3C2%3E5%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″ /> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое (f − g) (a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Методы решения логарифмических неравенств

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 loga g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

    0 loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ?, 2 — x) ? log3(x + 8);d)

b) e) log2x(x 2 — 5x + 6) 2 — x) ? log3(x + 8) Ы x 2 — x ? x + 8,Ы x 2 — 2x — 8 ? 0,Ыx+8 > 0,x > -8,Ы x ? -2,x ? 4,Ы x О (-8;-2]И[4;+Ґ).

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Ы x О (3;4),Ы x О (3;4).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t 2 + t — 2 ? 0, откуда t ? -2 или t ? 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства — множество (5;+Ґ). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x — 2)(x — 5) 2 > t + 11,

откуда t 5. Поскольку t ? 0, остается t > 5 или Ы x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим ответ: x О (5;+Ґ).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)И(2;+Ґ). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) 3, значит,

Решение логарифмических неравенств

Разделы: Математика

  • 1 уровень – научить решать простейшие логарифмические неравенства, применяя определение логарифма, свойства логарифмов;
  • 2 уровень – решать логарифмические неравенства, выбирая самостоятельно способ решения;
  • 3 уровень – уметь применять знания и умения в нестандартных ситуациях.

Развивающие: развивать память, внимание, логическое мышление, навыки сравнения, уметь обобщать и делать выводы

Воспитательные: воспитывать аккуратность, ответственность за выполняемое задание, взаимопомощь.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, самоуправления, контроля.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальный, индивидуальный, работа в парах.

Оборудование: набор тестовых заданий, опорный конспект, чистые листы для решений.

Тип урока: изучение нового материала.

1. Организационный момент. Объявляются тема и цели урока, схема проведения урока: каждому ученику выдается оценочный лист, который ученик заполняет в течении урока; для каждой пары учеников – печатные материалы с заданиями, выполнять задания нужно в парах; чистые листы для решений; опорные листы: определение логарифма; график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств.

Все решения после самооценки сдаются учителю.

Оценочный лист учащегося

2. Актуализация знаний.

Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической функции и ее свойства. Для этого прочитайте текст на с.88–90, 98–101 учебника “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией Ш.А Алимова, Ю.М Колягина и др.

Ученикам раздаются листы, на которых записаны: определение логарифма; изображен график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств, пример решения логарифмического неравенства, сводящегося к квадратному.

3. Изучение нового материала.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 0 1, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

Учебный элемент № 1.

Цель: закрепить решение простейших логарифмических неравенств

Форма организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная работа.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут. Для каждого неравенства имеются несколько вариантов ответов, нужно выбрать верный и проверить по ключу.


КЛЮЧ: 13321, максимальное кол-во баллов – 6 б.

Указания учителя. Проверьте и оцените свою работу. Правильные ответы возьмите у учителя, проставьте количество набранных баллов себе в оценочный лист. Подписанные листы с решениями сдать учителю

Учебный элемент № 2.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, применяя свойства логарифмов.

Указания учителя. Вспомните основные свойства логарифмов. Для этого прочитайте текст учебника на с.92, 103–104.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут.

КЛЮЧ: 2113, максимальное кол-во баллов – 8 б.

Учебный элемент № 3.

Цель: изучить решение логарифмических неравенств методом сведения к квадратному.

Указания учителя: метод сведения неравенства к квадратному состоит в том, что нужно преобразовать неравенство к такому виду, чтобы некоторую логарифмическую функцию обозначить новой переменной, получив при этом квадратное неравенство относительно этой переменной.

Применим метод интервалов.

Указания учителя: Проверьте и оцените работу, правильные ответы возьмите у учителя. Поставьте количество баллов в оценочный лист.

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам придется самостоятельно выбрать метод решения логарифмических уравнений, используя все свои знания и возможности.

Учебный элемент № 4.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, выбрав самостоятельно рациональный способ решения.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут

Указания учителя. Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Проставьте полученные баллы в оценочный лист.

Учебный элемент № 5.

Указания учителя. Молодцы! Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных и нестандартных ситуациях.

Задания для самостоятельного решения:

Указания учителя. Замечательно, если вы справились со всем заданием. Молодцы!

4. Итог урока. Проверьте и оцените свою работу. Подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист.

Оценка за весь урок зависит от числа набранных баллов по всем учебным элементам:

  • если N ≥ 20, то вы получаете оценку “5”,
  • при 16 ≤ N ≤ 19 – оценка “4”,
  • при 8 ≤ N ≤ 15 – оценка “3”,
  • при N 1.11.2011

Логарифмические неравенства с числовым основанием (страница 3)

(blacktriangleright) Стандартное логарифмическое неравенство [geqslant log_a>>] где (a>0, ane 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, 1>>) , то данное неравенство равносильно системе [ f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end>>] Заметим, что условие (f(x)>0) учитывается автоматически в такой системе.

(blacktriangleright) С помощью формулы (>>) можно любое число (b) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию (a>0, ane 1) .

ОДЗ логарифмов: (x>0) .
На ОДЗ верно: (log_55x^4=log_55+log_5x^4=1+4log_5|x|=1+4log_5x) .
Сделаем замену (log_5x=t) , тогда неравенство примет вид [1+dfrac 4+dfrac 3geqslant 0quadLeftrightarrowquad dfrac<(t-2)^2>geqslant 0quadLeftrightarrowquad dfrac<(t-1)(t+1)><(t-2)^2>geqslant 0] Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать: [begin left[beginbegin &log_5xleqslant -1\ &log_5xgeqslant 1endendright. \ log_5xne 2endquadLeftrightarrowquad begin left[beginbegin &xleqslant dfrac15\[2ex] &xgeqslant 5 endendright. \ xne 25end] Пересекая полученный ответ с ОДЗ (x>0) , получаем окончательный ответ
(xinleft(0;frac15right]cup[5;25)cup(25;+infty) )

[begin log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_>sqrt + log_ <625>(x + 11)^8 end]

ОДЗ: [begin (x + 11)^2 > 0\ sqrt > 0\ (x + 11)^8 > 0 end qquadLeftrightarrowqquad x > 0.]

При (x > 0) :
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin &log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_<5^<0,5>>x^ <0,5>+ log_ <5^4>(x + 11)^8quadLeftrightarrow\ &Leftrightarrowquad log_5 (x + 11)^2geqslant 2log_5 x + log_5 (x + 11)^2quadLeftrightarrow\ &Leftrightarrowquad 0geqslant 2log_5 x qquadLeftrightarrowqquad 0geqslant log_5 x qquadLeftrightarrowqquad log_5 1geqslant log_5 x qquadLeftrightarrowqquad 1geqslant x,. end]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ: [xin(0; 1].]

[begin log_<4>^3 x — 3 + 0,25log_<4>^2x^2 — 4log_4 xgeqslant 1 end]

Исходное неравенство равносильно

[begin log_<4>^3 x + 0,25cdot (2log_<4>|x|)^2 — 4log_4 x — 4geqslant 0 end]

Так как на ОДЗ выполнено (|x| = x) , то последнее неравенство равносильно неравенству

[begin log_<4>^3 x + log_<4>^2 x — 4log_4 x — 4geqslant 0 end]

Сделаем замену (t = log_4 x) :

[begin t^3 + t^2 — 4t — 4geqslant 0 end]

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первое со вторым, третье с четвёртым):

[begin t^2(t + 1) — 4(t + 1)geqslant 0 Leftrightarrow (t^2 — 4)(t + 1)geqslant 0 Leftrightarrow (t — 2)(t + 2)(t + 1)geqslant 0 end]

По методу интервалов:

откуда (tin[-2; -1]cup [2; +infty)) .

Тогда [left[ begin -2 leqslant log_4 xleqslant -1\ log_4 xgeqslant 2 end right. Leftrightarrow left[ begin log_4dfrac<1> <16>leqslant log_4 xleqslant log_4dfrac<1><4>\ log_4 xgeqslant log_4 16 end right. Leftrightarrow left[ begin dfrac<1> <16>leqslant xleqslant dfrac<1><4>\ xgeqslant 16 end right.]

С учётом ОДЗ ответ: (xinleft[dfrac<1><16>; dfrac<1><4>right]cup [16; +infty)) .

Решите неравенство [log_<64x>4cdot left(log_<0,5>8xright)^2leqslant 3]

ОДЗ неравенства: (64x>0, 64xne 1, 8x>0) , то есть (xin left(0;frac1<64>right)cupleft(frac1<64>;+inftyright)) .

Решим неравенство на ОДЗ.
Первый логарифм преобразуется в [log_<64x>4=dfrac1=dfrac1= dfrac1<3+frac12log_2x>] Второй логарифм преобразуется: [log_<0,5>8x=-(log_28+log_2x)=-3-log_2x] Сделаем замену: (log_2x=t) . Тогда неравенство примет вид: [dfrac1<3+frac12t>cdot left(-3-tright)^2leqslant 3quadLeftrightarrowquad dfrac<2(t+3)^2-3(t+6)>leqslant 0quadLeftrightarrowquad dfracleqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: [tin (-infty;-6)cupleft[-frac92; 0right]] Сделаем обратную замену: [left[beginbegin & log_2x 0\ sqrt > 0\ (x — 2)^ <-4032>> 0 end qquadLeftrightarrowqquad xin(0; 2)cup(2; +infty).]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin &log_4 (x — 2)^<2016>geqslant log_<4^<0,5>>x^ <0,5>+ log_<4^<-2>> (x — 2)^<-4032>quad Leftrightarrow\ &Leftrightarrowquad log_4 (x — 2)^<2016>geqslant log_4 x +log_4 (x — 2)^<2016> Leftrightarrow\ &Leftrightarrowquad 0 geqslant log_4 xqquadLeftrightarrowqquad log_4 1 geqslant log_4 xqquadLeftrightarrowqquad 1 geqslant x,. end]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ: [xin(0; 1].]

ОДЗ: [begin x^2>0 \ x^2ne 1\ x-2>0\ x-2ne 1\ (x-2)^2>0\ 3x^2>0\ x>0\ xne 1 end quad Leftrightarrow quad begin xne 0\ xne pm 1\ x>2\ xne 3\ xne 2\ x>0 end quad Leftrightarrow quad xin (2;3)cup(3;+infty).]

Решим неравенство на ОДЗ. Т.к. из ОДЗ следует, что (x>2) , то [begin &1) log_<25>=log_<|x|>5=log_x5\ &2) log_<(x-2)^2>=2\ &3) log_x<(3x^2)>=log_x<3>+log_x=log_x3+2 end]

Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно [log_x5+2geqslant 2+log_x3 quad Leftrightarrow quad log_x5geqslant log_x3 quad Leftrightarrow quad log_xgeqslant 0] Т.к. (log_ab=dfrac1) , то полученное неравенство равносильно [dfrac1x>geqslant 0 quad Leftrightarrow quad log_x>0 quad Leftrightarrow x>1.] Пересекая ответ с ОДЗ, получим (xin (2;3)cup(3;+infty)) .

Заметим, что на ОДЗ логарифм может быть равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1, и больше нуля, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от 1. Следовательно, (log_x) не может быть равен 0, а больше нуля он тогда и только тогда, когда основание (x) больше 1. То есть неравенство (log_xgeqslant 0) равносильно (x>1) .

Решите неравенство [log_2left(2log_4x^4right)>log_8^<-1>log_4log_2 256^2]

ОДЗ: [begin x^4>0\ 2log_4x^4>0 end quad Leftrightarrow quad begin xne 0\x^4>1 end quad Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)(x+1)>0 quad Leftrightarrow quad xin (-infty;-1)cup(1;+infty).]

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем правую часть: [log_8^<-1>log_4log_2 256^2=left(log_8log_4log_2<2^<16>>right)^<-1>= left(log_8log_4<16>right)^<-1>=left(log_82right)^<-1>= left(frac13right)^<-1>=3.]

Таким образом, неравенство равносильно [log_2left(2log_4x^4right)>3 quad Leftrightarrow quad log_2left(2log_4x^4right)>log_28] Т.к. основание логарифма больше единицы ( (2>1) ), то неравенство на ОДЗ равносильно [2log_4x^4>8 quad Leftrightarrow quad log_4x^4>4 quad Leftrightarrow quad log_4x^4>log_44^4] Т.к. основание логарифма больше единицы ( (4>1) ), то неравенство на ОДЗ равносильно [x^4>4^4 quad Leftrightarrow quad (x^2+4^2)(x-4)(x+4)>0 quad Leftrightarrow quad xin (-infty;-4)cup(4;+infty).] Пересекая ответ с ОДЗ, получаем (xin (-infty;-4)cup(4;+infty)) .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector
×
×