1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Системы уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметрами

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системы линейных уравнений с параметрами

y=kx+b – линейная функция, график – прямая, уравнение может быть переписано в виде a1x+b1 = с1 y=k1x+b1 y=k2x+b2

На плоскости прямые могут располагаться: совпадать, пересекаться, быть параллельными. Если прямые параллельны Если прямые пересекаются Если прямые совпадают

Системой линейных уравнений с двумя переменными называется два линейных уравнения, рассматриваемых совместно. Решением системы линейных уравнений называются такие пары чисел (хо, уо), которые являются решениями одновременно и первого и второго уравнения системы. Система линейных уравнений с двумя переменными отражает взаимное расположение двух прямых на плоскости. Решением системы линейных уравнений называются координаты точек, принадлежащих графикам обеих функций

БЛОК – СХЕМА a1x+b1 = с1 a2x+b2 = с2 нет решений одно решение множество решений

Приступаем к решению задач, опираясь на блок-схему: Пример 1. При каких значениях параметра а система 2х-3у = 7 ах-6у = 14: а)имеет бесконечное множество решений; б) имеет единственное решение?

Решение. 1 способ: Данная система уравнений является линейной, причем коэффициенты первого уравнения отличны от нуля. Воспользуемся данными блок-схемы. а) Система имеет бесконечное множество решений, если: б) Система имеет единственное решение, если: 2 способ: выразим из первого уравнения х, х=1,5у+3,5 и подставим во второе уравнение, получим (1,5а-6)у=14-3,5а, тогда а=4, 0у=0, система имеет бесконечное множество решений,а≠4, у= , система имеет единственное решение. Ответ: а) если а = 4, то система имеет бесконечное множество решений; б) если а ≠4, то решение единственное.

Пример2: Графики функций у=(4-а)х+а и у=ах+2 пересекаются в точке с абсциссой,равной-2. Найдите ординату точки пересечения. Решение: Так как графики пересекаются в точке с абсциссой, равной-2, то х=-2 является решением следующей системы: у=(4-а)х+а, у=ах+2; тогда имеем: у=(4-а)(-2)+а, у=а(-2)+2; у=-8+3а, у=-2а+2; -8+3а=-2а+2; 5а=10; а=2. Найдем ординату у, подставив х и а в любое уравнение сис­темы:у=2 • (-2)+ 2, у = -2. Ответ: — 2

Самостоятельная работа. 1.Решите систему х = а-у; х = b+Зу. 2. Решите это задание самостоятельно с последующей проверкой. Графики функций у = кх-4иу = 2х+b симметричны относительно оси абсцисс. а) Найдите b и к. б)Найдите точку пересечения этих графиков.

1. Ответ: система имеет единственное решение:( ; ) 2. Решение. Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, b = 4, а графики пересекаются в некоторой точке (х; 0). Получим систему: 2х + 4 = 0, kх-4 = 0; х = -2, к = -2. В результате точка пересечения графиков у = кх-4 и у = 2х + b (-2;0). Ответ: а) b= 4, к = -2; б) (-2; 0).

Какую цель вы ставили перед собой на уроке? Вы достигли поставленной цели? Что помогало выполнять задание? Проанализируйте свою работу на уроке, заполнив карточку

При организации образовательного процесса педагогу важно создание оптимальных условий для самореализации ребенка, максимального раскрытия его творческого потенциала.

Компетентностный подход к уровню подготовки обучающихся предполагает создание педагогом учебных ситуаций как условия для формирования у обучающихся опыта самостоятельного решения познавательных, коммуникативных, организационных задач.

Личностно-деятельностный подход предполагает организацию деятельности, в которой отбор содержания и организация образовательного процесса должны осуществляться в соответствии с потребностями и интересами детей на основе учета психофизиологических особенностей учащихся.

  • Тележинская Елена Леонидовна
  • Написать
  • 483
  • 19.04.2018

Номер материала: ДБ-1474638

  • 19.04.2018
  • 170
  • 19.04.2018
  • 548
  • 18.04.2018
  • 803
  • 07.04.2018
  • 629
  • 24.03.2018
  • 2087
  • 19.03.2018
  • 229
  • 06.03.2018
  • 1642
  • 13.02.2018
  • 78

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Системы линейных уравнений с параметрами

(1)

а х, у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Если из какого-нибудь уравнения системы можно найти одну из неизвестных х или у через другую, то, подставив найденную неизвестную в другое уравнение, получим линейное уравнение с параметрами относительно одной неизвестной. Тем самым, исследование системы сведётся к исследованию линейного уравнения.

Каждое из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными представляют собой прямые.

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых. Эти прямые могут:

а) пресекаться, в этом случае система (1) имеет единственное решение; коэффициенты системы удовлетворяют условию

б) совпадать, в этом случае система (1) имеет бесконечно много решений; коэффициенты системы удовлетворяют условию

= =

в) параллельны, в этом случае система (1) не имеет решений;

коэффициенты системы удовлетворяют условию

=

Пример 1. Определить, при каких значения m система

имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение, если

Пример 2. Определить, при каком значении m система не имеет решений.

Решение: Так как то данная система не имеет реше-

ний, если = т. е. m=4.

Пример 3. Определить, при каком значении m система имеет бесконечное множество решений.

Решение: Так как = то данная система имеет бесконечное множество решений, если = т. е. при m = 10.

188.64.169.166 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Линейная функция в задачах с параметром

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В данном уроке мы рассмотрим задачи с параметром и линейной функцией, приведем примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Линейная функция в задачах с параметром

1. Суть решения задач с параметром

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например, уравнение или неравенство с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

2. Решение линейного уравнения с параметром

Поясним на конкретных примерах.

Пример 1 – решить линейное уравнение с параметром:

Если бы мы знали конкретное значение параметра, мы могли бы легко решить уравнение, разделив свободный член на коэффициент при х. Поэтому, чтобы решить заданное уравнение с параметром, необходимо сначала собрать все члены с х в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой:

Вынесем в левой части общий множитель за скобки:

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

теперь можно было бы разделить правую часть на коэффициент при х, деление можно выполнить, когда коэффициент не равен нулю, но он зависит от параметра а. В данном случае коэффициент равен нулю при . То есть нужно рассмотреть три случая, таким образом перебрать все значения параметра:

Ответ: при ; при ; при

Решенный пример подтверждает известную специфику линейного уравнения или системы линейных уравнений. Она заключается в том, что такое уравнение или система может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

3. Решение линейного неравенства с параметром

Рассмотрим линейные неравенства с параметром.

Пример 2 – решить линейное неравенство с параметром:

Аналогично решению уравнения, переносим члены с х в одну сторону и преобразовываем:

Теперь мы можем делить на коэффициент перед х, рассмотрим три случая – коэффициент положителен, равен нулю и отрицателен:

Ответ: при ;

при ;

при

4. Решение системы линейных уравнений с параметром

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметром.

Пример 3 – решить систему уравнений с параметром:

Выразим во втором уравнении х и подставим в первое уравнение:

Получили одно линейное уравнение с одной неизвестной, упрощаем его:

Таким образом, в результате преобразований получена система:

Теперь необходимо решить первое уравнение системы. При этом нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент перед у равен нулю и не равен нулю:

Ответ: при ; при система не имеет решений; при

Рассмотрим подробнее случай, когда заданная система не имеет решений, то есть когда , подставим значение а в уравнения системы:

Поделим первое уравнение на два:

Получено явное противоречие, очевидно, что система не имеет решений.

Выразим в обоих уравнениях у:

Рис. 1. Графики функций и

Прямые параллельны, и система не имеет решений.

Итак, мы рассмотрели решение различных задач с параметром и линейной функцией, далее перейдем к задачам с параметром и квадратичной функцией.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Решить уравнение с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенство с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить систему уравнений с параметром:

а)

б)

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2

Ответ

(1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3) .

Задание №1226

Условие

При каких значениях параметра a система begin 15|x-2|+8|y+3|=120,\x^2 -4a^2 +2y+5=4(x-1)-(y+2)^2 end имеет ровно 4 решения?

Решение

Преобразуем второе уравнение системы, выделив полные квадраты:

Сделав замену переменных t=x-2 и omega=y+3, получим систему:

begin15|t|+8|omega |=120,enspace (1) \ t^2 +omega^2 =(2a)^2.enspace(2) end

При такой замене старая и новая система имеют одинаковое число решений.

Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Otomega.

График уравнения (1) — ромб, диагонали которого, равные 16 и 30 , лежат соответственно на осях Ot и Oomega , а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=2|a|.

Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию: 8

Ответ

a in (-7,5; -4) cup left right> cup (4; 7,5) .

Задание №1225

Условие

Найдите все значения a>0, при каждом из которых система begin (|x|-3)^2 +(y-3)^2=4,\ (x+3)^2 +y^2=a^2 end имеет единственное решение.

Решение

Если x geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (3; 3) радиуса 2 , а если x 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(-3; 0) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет единственную общую точку с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

Из точки C проведём луч CC_1 и обозначим A_1 и B_1 точки его пересечения с окружностью phi _1, где A_1 лежит между C и C_1.

Так как CC_1=sqrt <6^2 +3^2 >=sqrt <45>=3sqrt 5, то CA_1=3sqrt 5-2, CB_1=3sqrt 5+2.

При a CB_1 окружности phi и phi _1 касаются. При CA_1

Ответ

Задание №1224

Условие

Найдите все неотрицательные значения a , при каждом из которых система уравнений begin sqrt <(x-3)^2 +y^2 >+sqrt =sqrt , \ y=|2-a^2 | end имеет единственное решение.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы. Выражение AB=sqrt <(x-3)^2 +y^2 >определяет расстояние между точками A(x; y) и B(3; 0) . Аналогично выражение AC=sqrt определяет расстояние между точками A(x; y) и C(0; a) , а выражение BC=sqrt определяет расстояние между точками B(3;0) и C(0; a) .

По неравенству треугольника AB+AC geqslant BC, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка A принадлежит отрезку BC . Это значит, что для координат точки A(x; y) справедливы неравенства: 0 leqslant x leqslant 3, 0 leqslant y leqslant a.

Тогда из второго уравнения системы имеем:

0leqslant |2-a^2 |leqslant a, |2-a^2 |leqslant a, -aleqslant 2-a^2 leqslant a, begin 2-a^2 geqslant -a,\2-a^2 leqslant a, end enspace begin a^2 -a-2leqslant 0,\a^2+a-2geqslant 0, end enspace begin -1leqslant aleqslant 2,\aleqslant -2, ageqslant 1, end enspace ain [1;2] .

Итак, первое уравнение системы определяет на плоскости xOy отрезок с концами в точках B и C , не параллельный оси Ox ; второе уравнение системы определяет прямую, параллельную оси Ox . При a in [1; 2] они имеют одну точку пересечения, то есть исходная система уравнений имеет единственное решение.

Ответ

Задание №1223

Условие

При каких значениях параметра a система begin x-sqrt 3|y|=0,\ (x-2a)^2+(y-cos pi a)^2 leqslant (5a-21)^2 end имеет ровно два решения?

Решение

Решим задачу графически. Если |5-2a|=0, то неравенство системы задаёт круг с центром в точке (2a; cos pi a) и радиусом |5a-21|. Если |5a-21|=0, то решением

неравенства будет единственная точка: x=2a=frac<42>5 , y=cos pi a=cos frac<21pi >5 , а тогда у системы не может быть более одного решения.

Уравнение системы задаёт угол, биссектрисой которого является ось Ox . Сторона этого угла проходит через точки (0; 0) и left(1; frac1right), и поэтому образует угол 30^ с положительным направлением оси Ox .

Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла. Тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче Ox . Следовательно, ордината центра круга должна равняться нулю, а абсцисса быть больше нуля. Ордината равна нулю, если cos pi a=0, pi a=frac pi 2+pi k, k in mathbb Z, a=frac12+k, k ∈ Z .

Абсцисса центра круга равна 2 a и равна 2k+1, она больше нуля, если k geqslant 0. Рассмотрим triangle O_1OM , где O_1 — центр круга, M — одна из точек касания. Тогда O_1M=|5a-21|, OO_1=2a, angle O_1MO =90^, angle MOO_1 =30^. Тогда O_1M= O_1Ocdot sin angle O_1OM= 2asin 30^= a. Значит, a=|5a-21|, k+frac12= left|5k+frac52 -21right|, k+frac12=left|5k-frac<37>2 right|; отсюда либо k+frac12 =5k-frac<37> <2,>то есть 4k=19,, k=frac<19>4 ; либо k+frac12 =frac<37>2-5k,, 6k=18, k=3. k — целое число, frac<19>4 notin Z. 3in mathbb Z и 3geqslant 0. Таким образом, k=3, a=frac12+k=3,5.

Ответ

Задание №1221

Условие

Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений begin frac>=0, \ y=ax end имеет ровно два различных решения.

Решение

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение frac>=0 параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде frac<(y-5)(xy-5)>>=0, разложив числитель на множители. При x leqslant -5 левая часть не имеет смысла. При x>-5 уравнение задаёт прямую y=5 и гиперболу y=frac5x.

Найдём координаты точек A , B и C . B — точка пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x , чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений begin y=5,\y=frac5x. end

У точек A и C абсцисса равна -5, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. A(-5;5) и C(-5;-1).

При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a , проходящую через начало координат. Чтобы найти значение a , при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки A(-5; 5) получаем x=-5, y=5, 5=acdot (-5), a=-1.

Аналогично для B(1;5),, a=5 и для C(-5;-1), a=frac15.

При x>-5 прямая y=ax пересекает прямую y=5 при a 0, пересекает правую ветвь гиперболы y=frac5x при a>0, пересекает левую ветвь гиперболы y=frac5x при a>frac15. При этом прямая y=ax проходит через точку пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x при a=5.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y=5 и гиперболы y=frac5x с прямой y=ax при условии x>-5.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0

Решение систем уравнений с параметром

Линейные уравнения с параметрами. Методы и способы решения систем с неизвестным параметром (подстановка, метод сложения уравнений и графический). Выявление алгоритма действий. Поиск значения параметров, при которых выражение определяет корень уравнения.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Гимназия

Решение систем уравнений с параметром

Работу выполнила: учащаяся 11 класса «А»

Чиркова Елизавета Васильевна

Руководитель: учитель математики

Баталова Елена Владимировна

В нашей жизни важно получить высшее образование. И чтобы быть успешным необходимо закончить высшее учебное заведение. Но перед этим очень важно сдать единый государственный экзамен. А сдать ЕГЭ поможет только очень хорошая подготовка к нему. Больше всего баллов в ЕГЭ по математике можно получить за часть С. А в части С могут встретиться задачи повышенной сложности с переменной.

В своей исследовательской работе я рассматриваю только системы с параметром.

Проблема: Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учеников. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Объектная область исследования: область стереометрии.

Предмет исследования: системы с параметром.

Цель: Нахождение методов и способов решения систем с параметром; выявление алгоритма действий.

Гипотеза: Системы с неизвестным параметром можно решить, если знать различные методы и способы по решению системы.

В связи с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были сформулированы следующие задачи:

1. Изучение научной литературы по данной теме.

2. Изучение таких понятий, как: цилиндр, конус, шар, их построение.

3. Поиск задач с телами вращения в литературе.

4. Решение найденных задач разными способами.

1. Анализ литературных и Интернет источников.

4. Методы визуализации данных.

Линейная функция: — уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Линейные уравнения с параметрами

Если , уравнение имеет единственное решение.

Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

В этом уравнении х — неизвестное, a,b,c — коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами.

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Решить уравнение с параметрами — это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

система уравнение параметр корень

Если а0, то . Если а=0, то получаем b=c, если это действительно так, то корнем уравнения является любое действительное число, если же b c, то уравнение решений не имеет.

Таким образом, мы получили: при а 0, ; при а=0 и b=c, х — любое действительное число; при а=0 и b c, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0, при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных» значений параметра.

Задание № 1. При каких значениях параметра а система

Перепишем исходную систему в виде

Отсюда приходим к системе

Решая первое уравнение этой системы, находим, что у1,2 = .

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения а находятся из неравенства

Задание №2. При каких значениях параметров а и b система имеет бесконечно много решений?

На координатной плоскости хОу множество точек , удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. В общем случае две прямые, заданные уравнениями и совпадают, если, и (при они имеют одну точку пересечения, при и точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

Решая систему, получаем , .

Задание №3. При каких значениях параметра а хотя бы при одном значении параметра с система имеет решения для любых значений параметра b?

Если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, то будем иметь

Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

Таким образом, исходная система равносильна системе

При любом система всегда имеет единственное решение. Если же , то система будет иметь решения уравнения

Рассматривая его как квадратное относительно параметра с, приходим к выводу, что оно будет иметь хотя бы одно решение, если и , т.е. если .

При приходим к рассмотрению уравнения

В данном случае решая неравенство , где , находим, что .

Задание №4. При каких значениях параметра а система имеет четыре решения?

Полагая , , перепишем систему в виде

Заметим, теперь что если пара является решением системы, то и пара — также решение этой системы. Следовательно, если — решение системы такое, что и , , то система будет иметь восемь решений.

Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях: , или .

А тогда, если ; то . Если же или , то .

Задание №5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Преобразуем исходную систему:

Уравнение задает пару пересекающихся прямых и .

задает части этих прямых, расположенные правее прямой , т.е. лучи DB и CE (без точек B и С), см. рис.

Уравнение задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку . Следует найти все значения а, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и СЕ.

а) Прямая АB задается уравнением . Поэтому при прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.

б) Прямая АС задается уравнением . Поэтому при прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч СЕ.

в) При прямая m пресечет и луч BD, и луч СЕ.

г) Наконец, при прямая m пересечет только луч СЕ, а при она не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.

Задание №6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.

Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений:

При второе уравнение системы, а, значит, и вся система решений не имеет. При получаем:

Ясно (см. рисунок), что при система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при — два решения (координаты точек M и N).

У подрастающего поколения название царицы всех наук на устах. Кому-то вплоть до высшей ступени образования она не дается. Но все в обязательном порядке сдают ЕГЭ по этому предмету. А ЕГЭ по математике не такой уж легкий. Поэтому те, кому остался год или меньше, или больше уже начинают подготовку. И это подтверждает то, что выбранная мной тема исследовательской работы актуальна.

В моей исследовательской работе все фигуры неотрывно связано с планиметрией, но чтобы понять эту науку, нужно знать и о стереометрии. В ходе выполнения работы я узнала важные понятия, формулы к решению задач с определенными фигурами: шар, конус, цилиндр. В решении задач мне помогли такие приемы и методы как: умение выполнять действия с геометрическими фигурами; решение планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей); решение простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); изображение пространственных фигур; сечения куба, призмы, пирамиды; площадь треугольника, круга, площадь поверхности конуса, цилиндра; объем цилиндра, конуса, шара. Выбранные мной задачи решались с помощью понятий о той или иной фигуре и формул, что подтверждает мою гипотезу.

Подобные документы

Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.

контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011

Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.

контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011

Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009

Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.

реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009

Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.

контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012

Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.

лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009

Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа.

курсовая работа [124,0 K], добавлен 11.12.2002

Поиск базисного решения для системы уравнений, составление уравнения линии, приведение его к каноническому виду и построение кривой. Собственные значения и векторы линейного преобразования. Вычисление объема тела и вероятности наступления события.

контрольная работа [221,1 K], добавлен 12.11.2012

Методы решений иррациональных уравнений. Метод замены переменных. Линейные комбинации двух и более радикалов. Уравнение с одним радикалом. Умножение на сопряженное выражение. Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала.

контрольная работа [116,6 K], добавлен 15.02.2016

Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа «хищник-жертва» с учетом внутривидового взаимодействия.

курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012

Системы уравнений

В процессе решения систем уравнений при некоторых значениях параметра могут возникать уравнения типа 0·x = 0, тогда система будет иметь бесконечно решений или же 0·x = a 0, тогда система вообще не будет иметь решений. Проследим за решением систем уравнений на примерах.

Пример №16.ТипI. Решить при всех значениях параметра a

Решение. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем второе:

? 6y?ay = 9 ? (6?a)y = 9.

Мы получили линейное уравнение с параметром, которое мы умеем решать. 1) Пусть (6?a) = 0, тогда a = 6 и уравнение перепишется: 0·y = 9 ? нет решений.

Пусть (6?a) 0, тогда y = .

Найдем x, подставив y в первое уравнение системы:

2x + 3()= 5 ? 2x = 5?? x =

Ответ: при a = 6 решений нет; при a 6 x = y =.

Пример №17.Тип III. Найти все значения a, при которых система

Решение: перепишем уравнение в виде:

Решим первую систему, используя прием параллельного переноса параболы найдем точку касания прямой у=х-1 и параболы . Уравнение должно иметь решение. Значит, дискриминант должен быть неотрицательным, 4а-3, . Аналогично для прямой и параболы,

Общие рекомендации по решению задач с параметрами

Итак, чтобы успешно решить уравнение с параметром следует помнить о следующем:

Во-первых, найти область допустимых значений, при которых уравнение будет иметь смысл. Во-вторых, при решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения, нужно совершить ряд элементарных преобразований и привести заданное уравнение к более простому виду, если это возможно:

  • -рациональное выражение следует разложить на множители;
  • -тригонометрический многочлен по формулам разложить на множители;
  • — с учетом найденной ОДЗ избавиться от модулей, логарифмов и т. д.
  • — ввести новые переменные, разбить объемное уравнение на несколько простых.

Затем необходимо несколько раз внимательно прочитать задание, определить тип (что не позволит вам запутаться при выборе ответа) и вид (это поможет учесть главные нюансы при решении), затем выбрать наиболее подходящий метод решения уравнения. В случае, когда спрашиваются конкретные виды решений, необходимо вспомнить и попытаться применить специальные свойства входящих в уравнение функций (например, четность/нечетность, периодичность тригонометрических, и т.п.), которые позволят судить о существовании некоторого специального множества решений.

Построение эскизов графиков уравнений иногда значительно облегчает нахождение искомых решений. Существует ряд задач, в которых просто необходимо нарисовать эскиз графика функции. Чаще всего достаточно рассмотрение графика в обычной декартовой плоскости (х;у) , а иногда лучше рассмотреть графики в несколько иной плоскости (x;a), где x — независимая переменная, а a — параметр. Это очень удобно в задачах, где приходится строить знакомые графики: прямые, параболы, окружности, простейшие логарифмические, показательные функции и т. д. Многие уравнения предполагают решение как и графичеким, так и аналитическим методом. Бывает, что задача решается без всяких графиков, но более громоздко. Кроме того, эскизы графиков при аналитическом путе решения здорово помогают наглядно увидеть и «ход» решения.

При решении рациональных уравнений f(x;a) = 0 надо помнить, что для разных степеней многочлена f(x;a) методы решений разные. Поэтому в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени x многочлена f(x;a), понижая тем самым степень многочлена. Например, квадратное уравнение A(a)x2+B(a)x+C(a) = 0 при A(a) = 0 превращается в линейное, если при этом B(a) 0, а методы решения линейных и квадратных уравнений различны, и т.д.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector