5 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Вида y ax2 bx c

Квадратичная функция.

Квадратным трёхчленом называется многочлен 2-ой степени, то есть выражение вида ax 2 + bx + c, где a ≠ 0, b, c — (обычно заданные) действительные числа, называемые его коэффициентами, x — переменная величина.

Обратите внимание: коэффициент a может быть любым действительным числом, кроме нуля. Действительно, если a = 0, то ax 2 + bx + c = 0·x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. В этом случае в выражении не остаётся квадрата, поэтому его нельзя считать квадратным трёхчленом. Однако, такие выражения-двучлены как, например, 3x 2 − 2x или x 2 + 5 можно рассматривать как квадратные трёхчлены, если дополнить их недостающими одночленами с нулевыми коэффициентами: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0 и x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.

Если стоит задача, определить значения переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает нулевые значения, т.е. ax 2 + bx + c = 0, то имеем квадратное уравнение.

Если существуют действительные корни x1 и x2 некоторого квадратного уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные множители: ax 2 + bx + c = a(xx1)(xx2)

Замечание: Если квадратный трёхчлен рассматривать на множестве комплексных чисел С, которое, возможно, вы еще не изучали, то на линейные множители его можно разложить всегда.

Когда стоит другая задача, определить все значения, которые может принимать результат вычисления квадратного трёхчлена при различных значениях переменной х, т.е. определить y из выражения y = ax 2 + bx + c, то имеем дело с квадратичной функцией.

При этом корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции.

Квадратный трёхчлен также можно представить в виде

Это представление удобно использовать при построении графика и изучении свойств квадратичной функции действительного переменного.

Квадратичной функцией называется функция, заданная формулой y = f(x), где f(x) — квадратный трёхчлен. Т.е. формулой вида

где a ≠ 0, b, c — любые действительные числа. Или преобразованной формулой вида

.

Графиком квадратичной функции является парабола, вершина которой находится в точке .

Обратите внимание: Здесь не написано, что график квадратичной функции назвали параболой. Здесь написано, что графиком функции является парабола. Это потому, что такую кривую математики открыли и назвали параболой раньше (от греч. παραβολή — сравнение, сопоставление, подобие), до этапа подробного изучения свойств и графика квадратичной функции.

Парабола — линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из образующих этого конуса.

Парабола обладает еще одним интересным свойством, которое также используется как её определение.

Парабола представляет собой множество точек плоскости, расстояние от которых до определенной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до определенной прямой, называемой директрисой параболы.

Построить эскиз графика квадратичной функции можно по характерным точкам.
Например, для функции y = x 2 берем точки

Соединяя их от руки, строим правую половинку параболы. Левую получаем симметричным отраженим относительно оси ординат.

Для построения эскиза графика квадратичной функции общего вида в качестве характерных точек удобно брать координаты её вершины, нули функции (корни уравнения), если они есть, точку пересечения с осью ординат (при x = 0, y = c) и симметричную ей относительно оси параболы точку (−b/a; c).

Но в любом случае по точкам можно построить только эскиз графика квадратичной функции, т.е. приблизительный график. Чтобы построить параболу точно, нужно использовать её свойства: фокус и директрису.
Вооружесь бумагой, линейкой, угольником, двумя кнопками и крепкой нитью. Прикрепите одну кнопку примерно в центре листа бумаги — в точке, которая будет фокусом параболы. Вторую кнопку прикрепите к вершине меньшего угла угольника. На основаниях кнопок закрепите нить так, чтобы её длина между кнопками равнялась большому катету угольника. Начертите прямую линию, непроходящую через фокус будущей параболы, — директрису параболы. Приложите линейку к директрисе, а угольник к линейке так, как показано на рисунке. Перемещайте угольник вдоль линейки, одновременно прижимая карандаш к бумаге и к угольнику. Следите за тем, чтобы нить была натянута.

Измерьте расстояние между фокусом и директрисой (напоминаю — расстояние между точкой и прямой определяется по перпендикуляру). Это фокальный параметр параболы p. В системе координат, представленной на правом рисунке, уравнение нашей параболы имеет вид: y = x 2 /2p. В масштабе моего рисунка получился график функции y = 0,15x 2 .

Замечание: чтобы построить заданную параболу в заданном масштабе, делать нужно всё то же самое, но в другом порядке. Начинать нужно с осей координат. Затем начертить директрису и определить положение фокуса параболы. И только потом конструировать инструмент из угольника и линейки. Например, чтобы на клетчатой бумаге построить параболу, уравнение которой у = x 2 , нужно расположить фокус на расстоянии 0,5 клеточки от директрисы.

Свойства функции у = x 2

  1. Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции — положительная полупрямая: E(f) = [0; ∞).
  3. Функция у = x 2 четная: f(−x) = (−x) 2 = x 2 = f(x) .
    Ось ординат является осью симметрии параболы.
  4. На промежутке (−∞; 0) функция монотонно убывает.
    На промежутке (0; + ∞) функция монотонно возрастает.
  5. В точке x = 0 достигает минимального значения.
    Точка с координатами (0;0) является вершиной параболы.
  6. Функция непрерывна на всей области определения.
  7. Асимптот не имеет.
  8. Нули функции: y = 0 при x = 0.

Свойства квадратичной функции общего вида.

  1. Область определения функции — вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции зависит от знака коэффициента a.
    При a > 0 ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее (ymin), но не имеет наибольшего значения: E(f) = [ ymin; ∞) ;
    при a 2 + bx + c не является ни четной, ни нечетной.
    Осью симметрии параболы является прямая x = −b/2a .
    Функция будет четной только в случае, когда эта прямая совпадает с осью Oy, т.е. при b = 0.
  3. При a > 0 функция монотонно убывает на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно возрастает на промежутке (−b/2a; ∞).
    При a 0 — минимум функции.

Оба значения определяются по формуле y = − b 2 − 4ac _______ . 4a

Точка с координатами является вершиной параболы.

  • Функция непрерывна на всей области определения.
  • Асимптот не имеет.
  • Парабола пересекает ось ординат в точке (0;c).
    Если квадратный трёхчлен имеет дейтсивтельные корни x1x2, то парабола пересекает ось абсцисс в точках (x1;0) и (x2;0).
    При x1 = x2 парабола касается оси абсциcс в точке (x1;0).
  • Производная квадратичной функции вычисляется по формуле (ax 2 + bx + c)’ = 2ax + b.

    График квадратичной функции, заданной общей формулой, лучше всего строить и изучать пользуясь Правилами преобразования графиков функций.
    Для этого нужно сначала перейти от формулы y = ax 2 + bx + c к виду, удобному для преобразований, y = m(kx + l) 2 + n, где k, l, m, n — числа, зависящие от a, b, c, т.е. к виду
    .
    Затем взять за основу параболу y = x 2 и применить к ней следующие преобразования:

    • Параллельный перенос (сдвиг) исходной параболы на l = b/2a единиц влево (если l 2 − 4ac)/4a единиц вверх или вниз в зависимости от знака n (при n >0 вверх).

    Формулы для такого перехода можно выучить наизусть, а можно научиться выделять полный квадрат из трёхчлена с заданными коэффициентами. Это умение весьма полезно также для решения некоторых уравнений и неравенств, для вычисления интегралов и т.д.

    Рассмотрим пример:
    Пусть y = 3x 2 − 5x + 2
    1) Объединяем в скобки первые два слагаемых и выносим за скобки коэффициент при х 2 .
    2) В скобках умножим и одновременно разделим на 2 коэффициент при x.
    3) Сравним с формулой возведения двучлена в квадрат: имеем внутри скобок квадрат числа x, удвоенное произведение x на дробь 5/6. Чтобы применить эту формулу не хватает второго квадрата, поэтому добавим недостающее слагаемое 5 2 /6 2 и одновременно вычтем его, чтобы сохранилось исходное значение выражения.
    4) Сворачиваем квадрат по формуле и раскрываем большую скобку.
    5) Оставшиеся числовые дроби приводим к общему знаменателю и складываем.

    Итак, чтобы построить график функции y = 3x 2 − 5x + 2 из графика y = x 2 нужно последний сдвинуть по оси Ox вправо на 5/6 ≈ 0,83 единицы. Затем растянуть вдоль оси Oy в 3 раза и, наконец, опустить по оси Oy на 1/12 ≈ 0,08 единицы.
    Посмотрите, что получилось.

    Если Вы являетесь моим учеником или подписчиком, то можете поработать с интерактивными версиями этих графиков.

    Упражнение:
    Постройте по характерным точкам эскиз графика функции y = x 2 .
    Методом преобразования получите эскиз графика функции y = −x 2 + 4x + 6 .
    Посмотрите в каких точках график этой функции пересекает ось Ox и сравните их координаты (абсциссы) с корнями уравнения −x 2 + 4x + 6 = 0 , вычисленными через дискриминант. Насколько точным оказалось ваше графическое решение уравнения?

    Преобразуем выражение с выделением полного квадрата:

    Строим график функции
    .

    Для этого применяем следующие шаги: сдвиг на 2 клетки вправо, разворот ветвей вниз (вершина — точка, относительно которой поворачиваем), поднимаем вершину и, соответственно, всю параболу вверх на 10 клеточек. Вот что должно получиться
    .

    Визуально определяем корни. Парабола пересекает ось Ox примерно на одну пятую часть клетки левее минус единицы и настолько же правее пятерки, т.е. x1 ≈ −1,2 , x2 ≈ 5,2 .

    Решение по формулам нахождения корней квадратного уравнения дает ответы x1 = 2 − √10 __ , x2 = 2 + √10 __ .
    С помощью калькулятора вычисляем x1 = −1,162277660. , x2 = 5,162277660.

    Парабола — очень интересная кривая, квадратичная функция часто встречается при описании различных природных явлений, экономических процессов.

    Видеоуроки с параболой.

    Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена.

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента а — коэффициента при х 2 .

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента b — коэффициента при х.

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения параметра c.

    Задачи на анализ графика квадратичной функции.

    Задания вида «Установить соответствие между коэффициентами квадратного трёхчлена и приведенными графиками квадратичной функции» встречаются в ОГЭ по математике в 9-ом классе, а также необходимы сдающим ЕГЭ за 11 класс в качестве промежуточного действия.

    Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

    Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

    Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

    Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

    ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

    Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
    Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

    1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
    если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
    а 2 +bx+c=0;

    a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
    b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
    ax 2 +bx=0,
    х(ax+b)=0,
    х=0 и ax+b=0;
    c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

    4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

    ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

    И так теперь на примере разберем все по действиям:
    Пример №1:
    y=x 2 +4x+3
    c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
    a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
    Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
    По дискриминанту находим корни
    a=1 b=4 c=3
    D=b 2 -4ac=16-12=4
    x=(-b±√(D))/2a
    x1=(-4+2)/2=-1
    x2=(-4-2)/2=-3

    Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

    х -4 -3 -1 0
    у 3 0 0 3

    Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
    y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
    y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
    y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
    y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
    Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

    Пример №2:
    y=-x 2 +4x
    c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
    Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
    Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
    х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

    Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
    х 0 1 3 4
    у 0 3 3 0
    Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
    y=0 2 +4*0=0
    y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
    y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
    y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
    Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

    Пример №3
    y=x 2 -4
    c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
    a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
    Найдем корни уравнения x 2 -4=0
    Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
    x 2 =4
    x1=2
    x2=-2

    Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
    х -2 -1 1 2
    у 0 -3 -3 0
    Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
    y=(-2) 2 -4=4-4=0
    y=(-1) 2 -4=1-4=-3
    y=1 2 -4=1-4=-3
    y=2 2 -4=4-4=0
    Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

    Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

    Урок алгебры по теме «Функция у=aх2+bx+c, ее свойства и график». 8-й класс

    Разделы: Математика

    Класс: 8

    Тип урока: урок изучения и закрепления новых знаний.

    Цели урока:

    • Образовательные: изучить квадратичную функцию, её свойства и график, научиться находить координаты вершины параболы, ось симметрии параболы, научиться строить график квадратичной функции y = ax 2 + bx + c;
    • Развивающие: способствовать развитию представлений учащихся об особенностях заданий по данной теме, предлагаемых на экзамене по математике в новой форме в 9-м классе, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания;
    • Воспитательные: воспитывать умение слушать, анализировать, соблюдать единые требования к оформлению решений, содействовать формированию познавательного интереса к математике.

    Формы организации познавательной деятельности: коллективная, индивидуальная, фронтальная, работа в парах.

    Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, карты с опорным конспектом по теме.

    1. Проверка домашнего задания

    2. Актуализация знаний

    Повторение изученного (фронтальная работа):

    – Как построить график функции y = f(x + l), если известен график функции y = f(x)?
    – Как построить график функции y = f(x) + m, если известен график функции y = f(x)?
    – Как построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x)?
    – Какой трёхчлен называется квадратным?
    – В чём состоит метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена?
    – Выделите полный квадрат применительно к трёхчлену x 2 – 4x + 5.

    Ответ: x 2 – 4x + 5 = (x 2 – 4x + 4) + 1 = (x – 2) 2 + 1. (Один ученик решает у доски).

    Учитель: Ребята, как вы думаете, чем сегодня на уроке мы с вами будем заниматься?

    Учащиеся: Исследованием и построением графиков функций, исследованием их свойств.

    Учитель: Действительно, сегодня на уроке мы будем заниматься графиком так называемой квадратичной функции, её свойствами.

    3. Объяснение нового материала

    (У учащихся на столах карты с опорным конспектом по данной теме).

    Итак, рассмотрим многочлен y = ax 2 + bx + c, где a, b, c – коэффициенты, причём a ? 0. Такой многочлен называется квадратным трёхчленом, a – старший коэффициент. Квадратный трехчлен не обязательно может состоять из трёх слагаемых. Например, 5x 2 – 3x – квадратный трехчлен, у которого a = 5, b = – 3, c = 0.
    Функция y = ax 2 + bx + c, где a, b, c – некоторые произвольные числа, причём a ? 0, называется квадратичной функцией.
    Как вы думаете, почему она так называется?

    Учащиеся: Возможно потому что x в квадрате.

    Учитель: Да, потому что старший член трехчлена содержит переменную x в квадрате.
    – Как вы считаете, что будет являться графиком квадратичной функции?

    Учащиеся: Графиком квадратичной функции является парабола.

    Учитель: Да, вы совершенно правы. Это парабола, которая получается из параболы y = x 2 параллельным переносом. Ветви параболы y = ax 2 + bx + c будут направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a 2 + bx + c является прямая x = – b/2a, координаты вершины параболы вычисляются по следующим формулам: x0 = – b/2a, y0 = f(x0).

    Учитель: Итак, используя раннее полученные знания и знания, полученные сегодня на уроке, мы сможем построить график любой квадратичной функции. Построить график функции y = 3x 2 – 6x + 1.

    Задание №1. Построить график функции y = 3x 2 – 6x + 1.

    Ученики: (один ученик выполняет у доски, остальные на своих местах).

    График функции y = 3x 2 – 6x + 1 – парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. a = 3 > 0.
    Найдем координаты вершины параболы: x0 = – b/2a, x0 = 1, y0 = f(x0), y0 = f(1) = 3 • 12 – 6 • 1 + 1 = – 2. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; – 2).
    Ось симметрии параболы – прямая x= 1.
    Построим несколько дополнительных точек, симметричных друг другу относительно оси параболы:

    Квадратичная функция

    Квадратичная функция — функция вида:

    В уравнении квадратичной функции:

    a –старший коэффициент

    b – второй коэффициент

    с свободный член.

    Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции

    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные.

    Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.

    Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y отрицательные, а вторая часть – в I V четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.

    1) Область определения функции:

    2)Область значения функции:

    3)Наибольшее и наименьшее значение функции:

    4)Y(x)=x 2 — четная функция(т.к.f(-x)=x 2 =(-x) 2 =f(x) ).

    График симметричен относительно оси oY .

    5) Ограниченность функции:

    Если a>0, функция ограничена снизу.

    Если добавить константу d (где d любое число), в качестве слагаемого к X , то произойдет перемещение параболыпо оси (вместе с вертикальной асимптотой).

    В таком случае уравнением функции станет:

    Если d >0 ( y(x)=(x+d) 2 ) , то график функции передвигается по оси oX влево.

    Для примера возьмем уравнение y=(x+2) 2

    Если d 2 ) , то график функции передвигается по оси oX вправо.

    Для примера возьмем уравнение y=(x-2) 2

    Если добавить константу c(где cлюбое число) к X 2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

    В таком случае уравнением функции станет:

    Если c >0 ( y(x)=(x) 2 +c ), то график функции передвигается по оси oY вверх .

    Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 +2

    Если c 2 -c ), то график функции передвигается по оси oY вниз.

    Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 -3

    Дискриминант и нахождение корней

    1) 1) Если D>0 то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 2 решения, уравнение y=ax 2 +bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

    2) Если D=0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax 2 +bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

    3) Если D 2 +bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax 2 +bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

    Координаты вершины параболы

    Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:

    Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.

    Точка пересечения с осью oY

    Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c.

    Алгоритм построения квадратичной параболы

    1) Направление ветвей.

    2) Координаты вершины параболы.

    3) Корни дискриминанта.

    4) Дополнительные точки.

    5) Построение графика.

    Построим функцию y=x 2 -6x+15

    В квадратичном трехчлене x 2 -6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

    Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

    Выразим квадрат разности: x 2 -6x+15=(x 2 -6x+9)+6,

    Соберем формулу: (x 2 -6x+9)+6=(x-3) 2 +6,

    У нас получилась функция y=(x-3) 2 +6,

    Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.

    Следовательно, график функции y=(x-3) 2 +6 будет выглядеть таким образом:

    Построим функцию y=x 2 +8x+17

    В квадратичном трехчлене x 2 +8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

    Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

    Выразим квадрат разности: x 2 +8x+17=(x 2 +8x+16)+1,

    Соберем формулу: (x 2 +8x+16)+1=(x+4) 2 +1,

    У нас получилась функция y=(x+4) 2 +1,

    Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.

    Следовательно, график функции y=(x+4) 2 +1 будет выглядеть таким образом:

    Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:

    1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;

    2) Соберем, получившуюся формулу;

    3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;

    4) Построим график.

    Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

    Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

    Вида y ax2 bx c

    Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса «вымучивают» свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

    Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

    Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

    Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с) нулю равняться могут.

    Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

    Самая простая зависимость для коэффициента а. Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 0.

    y = 0,5x 2 — 3x + 1

    В данном случае а = 0,5

    А теперь для а 2 + b 0 + c = c. Получается, что у = с. То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с 0:

    Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

    Сложнее с параметром b. Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а. Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х) находится по формуле хв = — b/(2а). Таким образом, b = — 2ахв. То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (хв > 0) или левее (хв 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Значит b = — 2ахв = -++ = -. b 0, b 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, хв > 0. Значит b = — 2ахв = —+ = +. b > 0. Окончательно имеем: а 0, с > 0.

    Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с 0)

    Или ниже нуля (с 2 — 4:

    Руслан Александрович — репетитор по математике

    тел. моб. (495) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

    тел. моб. 8 (499) 723 68 84. Звонить можно до 23:00.

    тел. дом. 8 (925) 642 42 50. Звонить можно до 23:00.

    Как решать функции y ax2 bx c. Квадратичная функция

    Рассмотрим выражение вида ах 2 +вх+с, где а, в, с — действительные числа, а отлично от нуля. Это математическое выражение известно как квадратный трехчлен.

    Напомним, что ах 2 — это старший член этого квадратного трехчлена, а — его старший коэффициент.

    Но не всегда у квадратного трехчлена присутствуют все три слагаемые. Возьмем для примера выражение 3х 2 + 2х, где а=3, в=2, с=0.

    Перейдем к квадратичной функции у=ах 2 +вх+с, где а, в, с — любые произвольные числа. Эта функция является квадратичной, так как содержит член второй степени, то есть х в квадрате.

    Довольно легко построить график квадратичной функции, например, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата.

    Рассмотрим пример построения графика функции у равно -3х 2 — 6х + 1.

    Для этого первое, что вспомним, схему выделения полного квадрата в трехчлене -3х 2 — 6х + 1.

    Вынесем -3 у первых двух слагаемых за скобки. Имеем -3 умножить на сумму х квадрат плюс 2х и прибавить 1. Добавив и отняв единицу в скобках, получаем формулу квадрата суммы, которую можно свернуть. Получим -3 умножить на сумму (х+1) в квадрате минус 1 прибавить 1. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, выходит выражение: -3 умноженное на квадрат суммы (х+1) прибавить 4.

    Построим график полученной функции, перейдя к вспомогательной системе координат с началом в точке с координатами (-1; 4).

    На рисунке из видео эта система обозначена пунктирными линиями. Привяжем функцию у равно -3х 2 к построенной системе координат. Для удобства возьмем контрольные точки. Например, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). При этом отложим их в построенной системе координат. Полученная при построении парабола является необходимым нам графиком. На рисунке это красная парабола.

    Применяя метод выделения полного квадрата, мы имеем квадратичную функцию вида: у = а*(х+1) 2 + m.

    График параболы у = ах 2 + bx + c легко получить из параболы у=ах 2 параллельным переносом. Это подтверждено теоремой, которую можно доказать, выделив полный квадрат двучлена. Выражение ах 2 + bx + c после последовательных преобразований превращается в выражение вида: а*(х+l) 2 + m. Начертим график. Выполним параллельное перемещение параболы у = ах 2 , совмещая вершину с точкой с координатами (-l;m). Важно то, что х= -l, а значит -b/2а. Значит эта прямая является осью параболы ах 2 + bx + c, ее вершина находится в точке с абсциссой х нулевое равно минус в, деленное на 2а, а ордината вычисляется по громоздкой формуле 4ас — b 2 /. Но эту формулу запоминать не обязательно. Так как, подставив значение абсциссы в функцию, получим ординату.

    Для определения уравнения оси, направления ее ветвей и координат вершины параболы, рассмотрим следующий пример.

    Возьмем функцию у = -3х 2 — 6х + 1. Составив уравнение оси параболы, имеем, что х=-1. А это значение является координатой х вершины параболы. Осталось найти только ординату. Подставив значение -1 в функцию, получим 4. Вершина параболы находится в точке (-1; 4).

    График функции у = -3х 2 — 6х + 1 получен при параллельном переносе графика функции у = -3х 2 , значит, и ведет себя аналогично. Старший коэффициент отрицателен, поэтому ветви направлены вниз.

    Мы видим, что для любой функции вида y = ах 2 + bx + c, самым легким является последний вопрос, то есть направление веток параболы. Если коэффициент а положительный, то ветви — вверх, а если отрицательный, то — вниз.

    Следующим по сложности идет первый вопрос, потому что требует дополнительных вычислений.

    И самый сложный второй, так как, кроме вычислений, еще необходимы знания формул, по которым находятся х нулевое и у нулевое.

    Построим график функции у = 2х 2 — х + 1.

    Определяем сразу — графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как старший коэффициент равен 2, а это положительное число. По формуле находим абсциссу х нулевое, она равна 1,5. Для нахождения ординаты вспомним, что у нулевое равно функции от 1,5, при вычислении получим -3,5.

    Вершина — (1,5;-3,5). Ось — х=1,5. Возьмем точки х=0 и х=3. у=1. Отметим данные точки. По трем известным точкам строим искомый график.

    Для построения графика функции ах 2 + bx + c необходимо:

    Найти координаты вершины параболы и отметить их на рисунке, потом провести ось параболы;

    На оси ох взять две симметричные, относительно оси, параболы точки, найти значение функции в этих точках и отметить их на координатной плоскости;

    Через три точки построить параболу, при необходимости можно взять еще несколько точек и строить график по ним.

    В следующем примере мы научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции -2х 2 + 8х — 5 на отрезке .

    По алгоритму: а=-2, в=8, значит х нулевое равно 2, а у нулевое — 3, (2;3) — вершина параболы, а х=2 является осью.

    Возьмем значения х=0 и х=4 и найдем ординаты этих точек. Это -5. Строим параболу и определяем, что наименьшее значение функции -5 при х=0, а наибольшее 3, при х=2.

    Конспект урока по алгебре. 9 класс

    «Функция y=ax 2 , ее график и свойства»

    Цель урока: организовать деятельность учащихся по формированию умений построения графика функции y=ax² с помощью преобразований, изучению свойств функции y=ax² и применению их к решению задач.

    Образовательная: создать условия для формирования и закрепления навыков построения и чтения графика функции y=аx 2 .

    Развивающая: создать условия для развития умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание.

    Воспитательная: создать условия для развития познавательного интереса, способствовать развитию интеллектуальных способностей.

    уметь ориентироваться в своей системе знаний

    добывать новые знания.

    уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

    проговаривать последовательность действий на уроке;

    работать по составленному плану;

    планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей;

    высказывать свое предположение.

    уметь выражать свои мысли в устной форме;

    слушать и понимать речь других.

    систематизация и оценивание новой информации

    Тип урока: урок «открытия» нового знания.

    Цель: Подготовка учащегося к работе.

    Все знаете телевизионную игру на канале ТНТ «Где логика?» ведущий

    2. Актуализация знаний:

    Цель: Обеспечение мотивации к познавательной деятельности и подготовка к усвоению нового материала.

    Методы: словесные, наглядные.

    Ребята, попытайтесь изобразить траекторию движения снаряда, выпущенного и орудия, ствол которого направлен под углом 45 градусов к горизонту.

    Посмотрите на картинку

    Что общего можно заметить в них?

    А что эти линии вам напоминают?

    Вспомните, как они называются?

    Графиком какой функции является парабола?

    А какой формулой она задается?

    Сегодня на уроке мы продолжим изучение квадратичной функции, рассмотренной в курсе 8 класса. И, чтобы узнать, как звучит тема нашего урока, посмотрите на следующие примеры функций. Что в них общего и чем они различаются?

    Значит, мы будем рассматривать функции, которые отличаются от функции y=x 2 на коэффициент перед x 2 . Обозначим этот коэффициент буквой а. Итак, какой формулой тогда будут заданы такие функции?

    Тема нашего урока:

    Какие цели поставим перед собой?

    Сегодня на уроке мы выясним, как выглядят графики функций вида y=аx 2 , узнаем их особенности и рассмотрим их свойства.

    Каждый делает рисунок в тетради и сравнивает его с рисунком на доске или слайде.

    Похожие формы линий

    Везде есть переменная x 2 , но перед x 2 стоят разные числа

    Записывают тему урока

    Узнать, как строится график функции y=аx 2 , выяснить свойства функции

    «Функция y=ax 2 , ее график и свойства»

    3. Постановка учебной задачи.

    Цель: Постановка учебной задачи путем использования ранее выработанных навыков применительно к новой ситуации

    Методы: словесные, наглядные.

    Одной из важных функций является квадратичная функция.

    Квадратичной называется функция вида у= аx 2 +bx+c, где х — независимая переменная, a, b, c — некоторые числа, а не равно 0. Изучение квадратичной функции начнем с частного случая — функции y=аx 2 , (это случай, когда коэффициенты b и c квадратичной функции равны 0).

    При а=1, функция примет вид y=x 2 ,которую мы уже изучали в прошлом году. Как мы знаем, ее графиком является парабола.

    Для того, чтобы выяснить свойства и особенности графиков функции y=аx 2 в зависимости от коэффициента а, рассмотрим следующие примеры.

    Функция y=аx 2 -частный случай квадратичной функции у= аx 2 +bx+c.

    4. «Открытие» нового знания.

    Цель: Отработка алгоритма построения графика функции y=ax 2 .

    Методы: Словесные, объяснительно-иллюстративные.

    Рассмотрим графики функций y=x 2 , y=2x 2 , y=1/2x 2 и исследуем их свойства.

    Для этого построим в одной системе координат их графики.

    Внимательно посмотрим на значения всех трех функций в таблице и на построенные графики функций. Что в них общего? В чем отличия?

    Давайте попробуем сформулировать выводы и свойства функции y=аx 2 . Причем, отметим, что коэффициент а>0.

    Но сначала на следующем рисунке посмотрим, как параболы с коэффициентом а>1 расположены по одну сторону от графика функции у= x 2 , а параболы с коэффициентом 0 1.

    Вывод: График функции у=a x 2 можно получить из графика функции у=x 2 сжатием его к оси Ох в 1/a раз, если 0 0.

    Теперь построим в одной системе координат графики функций

    y= — 1/2x 2 и y=1/2x 2 .

    Что заметили общего и чем параболы отличаются?

    График функции у=-1/2х 2 симметричен графику функции у=1/2х 2 относительно оси Ох.

    вывод: График функции у=ах 2 (а 0) относительно оси Ох.

    можем сделать вывод, что в зависимости от знака коэффициента а зависит направление ветвей параболы. Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, а если а 1

    8. Домашнее задание.

    Цель: Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

    Для закрепления темы в качестве домашнего задания следующее:

    1. Запомнить записи в тетради.

    2. Выполнить упражнение № 95 из учебника.

    Записывают домашнее задание

    Цель: Подведение итогов урока, анализ и оценка деятельности.

    (метод развития критического мышления)

    Составляют и озвучивают

    Квадратичная, симметричная, практичная

    Возрастает, убывает, принимает

    Частный случай у= аx 2 +bx+c.

    Плохой учитель преподносит истину, хороший учит её добывать.

    Учитель : Нетикова Маргарита Анатольевна, учитель математики ГБОУ школа №471 Выборгского района Санкт- Петербурга.

    Тип урока: урок усвоения новых знаний.

    Цель: научить учащихся строить график функцииy = ax 2 .

    Обучающие: сформировать умение строить параболу y = ax 2 и установить закономерность между графиком функции y = ax 2

    и коэффициентом а.

    Развивающие: развитие познавательных умений, аналитического и сравнительного мышления, математической грамотности, способности обобщать и делать выводы.

    Воспитывающие: воспитание интереса к предмету, аккуратности, ответственности, требовательности к себе и другим.

    Предметные: уметь по формуле определять направление ветвей параболы и строить её с помощью таблицы.

    Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в парах, в коллективе.

    Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.

    Педагогические технологии: элементы проблемного и опережающего обучения.

    Оборудование: интерактивная доска, компьютер, раздаточные материалы.

    1.Формула корней квадратного уравнения и разложение квадратного трёхчлена на множители.

    2.Сокращение алгебраических дробей.

    3.Свойства и график функции y = ax 2 , зависимость направления ветвей параболы, её «растяжения» и «сжатия» вдоль оси ординат от коэффициента a .

    Проверка домашнего задания

    Устная работа по готовым чертежам

    4.Объяснение нового материала

    Подготовка к изучению нового материала (создание проблемной ситуации)

    Первичное усвоение новых знаний

    Применение знаний и умений в новой ситуации.

    6.Подведение итогов урока.

    Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «График функции y = ax 2 »

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector